Номер 2.23, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.23, страница 29.

Условие.

2.23. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $y = x^5 + x;$

2) $y = x^4 + \sqrt{x};$

3) $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{x};$

4) $y = x\sqrt{x};$

5) $y = x\sqrt{-x};$

6) $y = (\sqrt{x} + 1)^2.$

Решение.

Чтобы доказать, что функция является возрастающей, достаточно показать, что ее производная неотрицательна (или строго положительна) на всей области определения функции. Функция $f(x)$ возрастает на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Если производная $f'(x) > 0$ на интервале, то функция строго возрастает на этом интервале.

1) $y = x^5 + x$

Функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^5 + x)' = 5x^4 + 1$.

Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5x^4 \ge 0$.

Следовательно, производная $y' = 5x^4 + 1 \ge 1$, то есть $y' > 0$ для всех $x \in D(y)$.

Так как производная функции положительна на всей области определения, функция является возрастающей.

Ответ: Доказано.

2) $y = x^4 + \sqrt{x}$

Область определения функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем производную функции для $x > 0$:

$y' = (x^4 + \sqrt{x})' = 4x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

На промежутке $(0, +\infty)$ оба слагаемых положительны: $4x^3 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$.

Следовательно, их сумма $y' = 4x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для всех $x > 0$.

Функция непрерывна в точке $x=0$, и ее производная положительна для всех $x > 0$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что функция возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Также можно отметить, что данная функция является суммой двух возрастающих на $[0, +\infty)$ функций ($y=x^4$ и $y=\sqrt{x}$), а такая сумма всегда является возрастающей функцией.

Ответ: Доказано.

3) $y = \sqrt{x-1} + \sqrt{x}$

Область определения функции задается системой неравенств: $\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1, +\infty)$.

Найдем производную функции для $x > 1$:

$y' = (\sqrt{x-1} + \sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

На промежутке $(1, +\infty)$ оба слагаемых положительны: $\frac{1}{2\sqrt{x-1}} > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$.

Следовательно, их сумма $y' > 0$ для всех $x > 1$.

Так как функция непрерывна в точке $x=1$ и ее производная положительна на $(1, +\infty)$, функция возрастает на всей своей области определения $[1, +\infty)$.

Ответ: Доказано.

4) $y = x\sqrt{x}$

Область определения функции $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, +\infty)$.

Представим функцию в виде степенной: $y = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.

Найдем производную функции для $x > 0$:

$y' = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x} > 0$, следовательно, производная $y' > 0$. В точке $x=0$ производная равна $0$.

Поскольку производная $y' \ge 0$ на всей области определения (и равна нулю лишь в одной точке), функция является возрастающей.

Ответ: Доказано.

5) $y = x\sqrt{-x}$

Область определения функции задается условием $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 0]$.

Найдем производную функции для $x < 0$ по правилу произведения:

$y' = (x)' \sqrt{-x} + x (\sqrt{-x})' = 1 \cdot \sqrt{-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = \sqrt{-x} - \frac{x}{2\sqrt{-x}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{-x})^2 - x}{2\sqrt{-x}} = \frac{2(-x) - x}{2\sqrt{-x}} = \frac{-3x}{2\sqrt{-x}}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(-\infty, 0)$.
Знаменатель $2\sqrt{-x}$ положителен, так как для $x < 0$ подкоренное выражение $-x > 0$.
Числитель $-3x$ также положителен, так как $x < 0$.
Таким образом, $y' > 0$ для всех $x < 0$. Функция непрерывна в $x=0$, следовательно, она возрастает на всей области определения $(-\infty, 0]$.

Ответ: Доказано.

6) $y = (\sqrt{x}+1)^2$

Область определения функции $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем производную функции для $x > 0$ по правилу производной сложной функции:

$y' = ((\sqrt{x}+1)^2)' = 2(\sqrt{x}+1)^{1} \cdot (\sqrt{x}+1)' = 2(\sqrt{x}+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$.

На интервале $(0, +\infty)$ числитель $\sqrt{x}+1 > 1$ и знаменатель $\sqrt{x} > 0$.

Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x > 0$.

Функция непрерывна в $x=0$ и ее производная положительна на $(0, +\infty)$, значит, функция возрастает на всей области определения $[0, +\infty)$.

Ответ: Доказано.