Номер 2.18, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.18, страница 29.

Условие.

2.18. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

2) $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Решение.

1) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$, мы воспользуемся производной. Функция является убывающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке отрицательна.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \left(\frac{7}{x+5}\right)'$

Используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, представим функцию как $y = 7(x+5)^{-1}$:

$y' = 7 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-1-1} \cdot (x+5)' = -7(x+5)^{-2} \cdot 1 = -\frac{7}{(x+5)^2}$.

Теперь определим знак производной $y' = -\frac{7}{(x+5)^2}$ на промежутке $(-5; +\infty)$.

1. Числитель дроби равен -7, это отрицательное число.

2. Знаменатель дроби $(x+5)^2$ является квадратом выражения. Для любого значения $x$ из промежутка $(-5; +\infty)$, выражение $x+5$ будет положительным, а его квадрат $(x+5)^2$ будет тем более положительным.

Таким образом, производная $y'$ на всем промежутке $(-5; +\infty)$ представляет собой частное от деления отрицательного числа на положительное, а значит, сама является отрицательной: $y' < 0$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем заданном промежутке, это доказывает, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, мы также воспользуемся производной. Функция является возрастающей на некотором промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна (т.е. $y' \ge 0$).

Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (6x - x^2)' = (6x)' - (x^2)' = 6 - 2x$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная $y'$ будет неотрицательной. Для этого решим неравенство:

$y' \ge 0$

$6 - 2x \ge 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$6 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$3 \ge x$, или $x \le 3$.

Неравенство $y' \ge 0$ выполняется для всех $x$, принадлежащих промежутку $(-\infty; 3]$. В частности, производная положительна ($y' > 0$) при $x < 3$ и равна нулю ($y' = 0$) при $x = 3$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всем промежутке $(-\infty; 3]$, это доказывает, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Доказано.