Номер 2.20, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.20, страница 29.

Условие.

2.20. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.

Решение.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, необходимо найти её производную и исследовать её знак.

Сначала определим область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе $x^2+1$ должно быть строго положительным. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$, что всегда больше нуля. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем производную. Удобнее представить функцию в виде $y = (x^2+1)^{-1/2}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = \left((x^2+1)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2} \cdot (x^2+1)' = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2} \cdot 2x = -x(x^2+1)^{-3/2}$

Запишем производную в виде дроби:

$y' = -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$

Знак производной $y'$ зависит только от знака числителя $-x$, так как знаменатель $(x^2+1)^{3/2}$ всегда положителен.

Критическая точка функции находится из условия $y' = 0$, откуда $-x = 0$, то есть $x=0$. Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Промежутки возрастания

Функция возрастает, когда её производная положительна, то есть $y' > 0$.

$-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} > 0$

Это неравенство равносильно $-x > 0$, или $x < 0$.

Таким образом, функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в промежуток возрастания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.

Промежутки убывания

Функция убывает, когда её производная отрицательна, то есть $y' < 0$.

$-\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} < 0$

Это неравенство равносильно $-x < 0$, или $x > 0$.

Таким образом, функция убывает на интервале $(0, +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в промежуток убывания.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.