Номер 2.7, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 2. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 2.7, страница 28.

Условие.

2.7. Найдите нули функции:

1) $y = -5;$

2) $y = |x| + x;$

3) $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}};$

4) $y = \lfloor x \rfloor;$

5) $y = x \mathcal{D}(x);$

6) $y = \text{sgn}(2x - 1).$

Решение.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение $y=0$.

1) $y = -5$

Это постоянная функция. Ее значение равно -5 при любом значении $x$. Решим уравнение $y=0$:

$-5 = 0$

Это уравнение не имеет решений, так как -5 никогда не равно 0. Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

2) $y = |x| + x$

Приравняем функцию к нулю: $|x| + x = 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x + x = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

Значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, это корень.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x + x = 0$

$0 = 0$

Это верное тождество, которое выполняется для всех $x$ из рассматриваемого промежутка, то есть для всех $x < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что нулями функции являются все неположительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

3) $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Теперь решим уравнение $y=0$:

$\frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что уже учтено в ОДЗ).

$x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Проверим, принадлежат ли найденные корни области определения $x > 2$.

Корень $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $3 > 2$.

Корень $x_2 = -3$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 \not> 2$.

Следовательно, у функции только один нуль.

Ответ: $x = 3$.

4) $y = [x]$

Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ (функция "пол" или "антье"), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Приравняем функцию к нулю: $[x] = 0$.

По определению функции целой части, равенство $[x] = 0$ выполняется для всех $x$, которые удовлетворяют неравенству $0 \le x < 1$.

Ответ: $x \in [0, 1)$.

5) $y = x \cdot D(x)$

$D(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:

$D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$

Решим уравнение $x \cdot D(x) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $x = 0$. Число 0 является рациональным, поэтому $D(0) = 1$. Уравнение принимает вид $0 \cdot 1 = 0$, что верно. Значит, $x=0$ — нуль функции.

б) $D(x) = 0$. По определению функции Дирихле, это равенство выполняется для всех иррациональных чисел $x$. Для любого иррационального $x$ уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 0$, что верно.

Таким образом, нулями функции являются $x=0$ и все иррациональные числа.

Ответ: $x=0$ и все иррациональные числа.

6) $y = \operatorname{sgn}(2x - 1)$

$\operatorname{sgn}(z)$ — это функция "сигнум" (знак числа), которая определяется так:

$\operatorname{sgn}(z) = \begin{cases} 1, & z > 0 \\ 0, & z = 0 \\ -1, & z < 0 \end{cases}$

Чтобы найти нули функции, решим уравнение $\operatorname{sgn}(2x - 1) = 0$.

Из определения функции $\operatorname{sgn}$ следует, что она равна нулю только тогда, когда ее аргумент равен нулю. В нашем случае аргумент равен $2x - 1$.

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = 0.5$.