Номер 1.31, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.31, страница 14.

Условие.

1.31. Найдите область значений функции:

1) $y = [\mathcal{D}(x)];$

2) $y = \{\mathcal{D}(x)\}.$

Решение.

Для решения данной задачи необходимо определить, что такое функция $D(x)$, а также что означают операции $[a]$ и $\{a\}$.

Функция $D(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
$D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \mathbb{Q} \text{ (рациональное число)} \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ (иррациональное число)} \end{cases}$
Областью значений самой функции Дирихле является множество $\{0, 1\}$.

Операция $[a]$ обозначает взятие целой части числа $a$ (функция "пол" или "антье"), то есть наибольшего целого числа, не превосходящего $a$.

Операция $\{a\}$ обозначает взятие дробной части числа $a$, которая вычисляется по формуле $\{a\} = a - [a]$.

1) $y = [D(x)]$

Чтобы найти область значений функции $y = [D(x)]$, нужно рассмотреть все возможные значения, которые может принимать $D(x)$.
Случай 1: Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то $D(x) = 1$.
Тогда значение функции $y$ будет: $y = [D(x)] = [1] = 1$.
Случай 2: Если $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$), то $D(x) = 0$.
Тогда значение функции $y$ будет: $y = [D(x)] = [0] = 0$.
Таким образом, функция $y$ может принимать только два значения: 0 и 1. Область значений функции — это множество, состоящее из этих двух элементов.

Ответ: $\{0, 1\}$.

2) $y = \{D(x)\}$

Аналогично, чтобы найти область значений функции $y = \{D(x)\}$, рассмотрим все возможные значения $D(x)$.
Случай 1: Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то $D(x) = 1$.
Тогда значение функции $y$ будет: $y = \{D(x)\} = \{1\} = 1 - [1] = 1 - 1 = 0$.
Случай 2: Если $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$), то $D(x) = 0$.
Тогда значение функции $y$ будет: $y = \{D(x)\} = \{0\} = 0 - [0] = 0 - 0 = 0$.
В обоих случаях значение функции $y$ равно 0. Следовательно, для любого действительного числа $x$ функция принимает единственное значение 0.

Ответ: $\{0\}$.