Номер 1.24, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.24, страница 13.

Условие.

1.24. Найдите область значений функции:

1) $y = -2x^2 + 3x - 4;$

2) $y = \frac{3x+1}{2x+3};$

3) $y = \frac{x}{x^2-1}.$

Решение.

1) $y = -2x^2 + 3x - 4$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в вершине параболы, и область значений будет простираться от минус бесконечности до этого максимального значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае $a = -2$, $b = 3$, $c = -4$.

Найдём абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$

Теперь найдём ординату вершины, подставив $x_0$ в уравнение функции. Это и будет максимальное значение функции:

$y_0 = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) - 4 = -2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{18}{16} + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{32}{8} = \frac{-9 + 18 - 32}{8} = -\frac{23}{8}$

Максимальное значение функции равно $y_0 = -\frac{23}{8}$. Таким образом, область значений функции — это все числа, не превосходящие $-\frac{23}{8}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{8}]$

2) $y = \frac{3x+1}{2x+3}$

Данная функция является дробно-линейной. Её область значений можно найти, выразив переменную $x$ через $y$.

$y(2x+3) = 3x+1$

$2xy + 3y = 3x+1$

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$2xy - 3x = 1 - 3y$

$x(2y - 3) = 1 - 3y$

Выразим $x$:

$x = \frac{1 - 3y}{2y - 3}$

Это выражение имеет смысл для любых значений $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Найдём это значение:

$2y - 3 \neq 0$

$2y \neq 3$

$y \neq \frac{3}{2}$

Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $y = \frac{3}{2}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$

3) $y = \frac{x}{x^2-1}$

Чтобы найти область значений этой функции, рассмотрим уравнение $y = \frac{x}{x^2-1}$ как уравнение относительно $x$, где $y$ является параметром. Нам нужно найти все значения $y$, при которых это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение $x$ из области определения исходной функции ($x \neq \pm 1$).

1. Если $y = 0$, то $\frac{x}{x^2-1} = 0$, откуда $x = 0$. Это значение $x$ входит в область определения функции, значит, $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, преобразуем уравнение:

$y(x^2 - 1) = x$

$yx^2 - y = x$

$yx^2 - x - y = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен.

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac$, где $a=y$, $b=-1$, $c=-y$.

$D = (-1)^2 - 4(y)(-y) = 1 + 4y^2$

Условие существования действительных корней $x$ — это $D \ge 0$.

$1 + 4y^2 \ge 0$

Это неравенство выполняется для любого действительного значения $y$, так как $y^2 \ge 0$, следовательно, $4y^2 \ge 0$, и $1 + 4y^2 \ge 1$.

Поскольку дискриминант всегда положителен при любом $y$, для любого действительного значения $y$ существует действительное значение $x$. Таким образом, область значений функции — все действительные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$