Номер 1.18, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.18, страница 12.

Условие.

1.18. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$;

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$.

Решение.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$

Найдём область определения функции.
Область определения функции — это все значения аргумента $x$, при которых выражение имеет смысл. Для дроби знаменатель не должен быть равен нулю.
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Упростим функцию и построим график.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Теперь можем сократить дробь при условии, что $x \neq -4$:
$f(x) = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = x - 4$
Графиком функции является прямая $y = x - 4$, но с "выколотой" точкой, так как исходная функция не определена при $x = -4$.
Найдём координаты этой точки, подставив $x = -4$ в упрощённое выражение:
$y = -4 - 4 = -8$
Следовательно, точка с координатами $(-4; -8)$ не принадлежит графику.
Для построения прямой $y = x - 4$ найдём две точки:
если $x = 0$, то $y = -4$;
если $x = 4$, то $y = 0$.
Проводим прямую через точки $(0; -4)$ и $(4; 0)$ и отмечаем на ней выколотую точку $(-4; -8)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. График функции — прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(-4; -8)$.

---

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$

Найдём область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 6x \neq 0$
$x(x - 6) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$.
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$.

Упростим функцию и построим график.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$12x - 72 = 12(x - 6)$
$x^2 - 6x = x(x - 6)$
Теперь можем сократить дробь при условии, что $x \neq 6$ (и $x \neq 0$):
$f(x) = \frac{12(x - 6)}{x(x - 6)} = \frac{12}{x}$
Графиком функции является гипербола $y = \frac{12}{x}$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Исходная функция не определена в точках $x = 0$ и $x = 6$.
Точка $x = 0$ является вертикальной асимптотой для гиперболы $y = \frac{12}{x}$.
В точке $x = 6$ на графике будет выколотая точка. Найдём её координаты:
$y = \frac{12}{6} = 2$
Следовательно, точка с координатами $(6; 2)$ не принадлежит графику.
Для построения гиперболы $y = \frac{12}{x}$ можно взять несколько точек, например: $(2; 6), (3; 4), (4; 3), (-2; -6), (-3; -4), (-4; -3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой $(6; 2)$.

---

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$

Найдём область определения функции.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \neq 0$
$x^2 \neq 9$
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим функцию и построим график.
При всех допустимых значениях $x$ (то есть при $x \neq \pm 3$) числитель и знаменатель равны, следовательно, их частное равно 1.
$f(x) = 1$
Графиком функции является прямая $y = 1$, параллельная оси абсцисс.
Так как исходная функция не определена в точках $x = -3$ и $x = 3$, на графике будут две выколотые точки.
Координаты этих точек:
При $x = -3$, $y = 1 \implies (-3; 1)$
При $x = 3$, $y = 1 \implies (3; 1)$
График — это горизонтальная прямая $y=1$ с двумя "дырками".

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.