Номер 1.14, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.14, страница 12.

Условие.

1.14. Каждому многоугольнику поставили в соответствие его периметр.

Является ли описанное отображение множества многоугольников на множество положительных действительных чисел взаимно однозначным?

Решение.

Для того чтобы отображение было взаимно однозначным (также называемым биекцией), оно должно удовлетворять двум условиям: быть инъективным и сюръективным.

Рассмотрим отображение, которое каждому многоугольнику ставит в соответствие его периметр.

1. Инъективность

Отображение инъективно, если разным элементам исходного множества (разным многоугольникам) соответствуют разные элементы конечного множества (разные периметры).

Проверим это условие. Могут ли два разных многоугольника иметь одинаковый периметр? Да, могут. Приведем пример:

• Возьмем квадрат со стороной $a = 3$. Его периметр $P_1 = 4a = 4 \cdot 3 = 12$.
• Возьмем равносторонний треугольник со стороной $b = 4$. Его периметр $P_2 = 3b = 3 \cdot 4 = 12$.

Квадрат и равносторонний треугольник — это разные многоугольники, но им соответствует одно и то же значение периметра, равное $12$. Так как существуют различные многоугольники с одинаковым периметром, отображение не является инъективным.

2. Сюръективность

Отображение сюръективно, если для любого элемента из множества значений (для любого положительного действительного числа) существует соответствующий ему элемент в исходном множестве (многоугольник).

Для любого положительного действительного числа $p > 0$ мы можем построить многоугольник с таким периметром. Например, можно взять квадрат со стороной $p/4$, и его периметр будет равен $4 \cdot (p/4) = p$. Следовательно, отображение является сюръективным.

Вывод

Поскольку отображение не является инъективным, оно не является взаимно однозначным, несмотря на то, что оно сюръективно. Для взаимной однозначности необходимо выполнение обоих условий.

Ответ: Нет, описанное отображение не является взаимно однозначным.