Номер 1.13, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.13, страница 12.

Условие.

1.13. Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества $D(y)$ на множество $E(y):

1) $y = \frac{1}{x}$; 2) $y = x^2 + 1$; 3) $y = 2$?

Решение.

Взаимно однозначное отображение (также называемое биекцией) множества $D(y)$ на множество $E(y)$ — это такое правило, при котором каждому элементу из области определения $D(y)$ соответствует ровно один элемент из области значений $E(y)$, и, что важно, каждому элементу из области значений $E(y)$ соответствует ровно один элемент из области определения $D(y)$.

Технически, функция является взаимно однозначным отображением со своей области определения на свою область значений, если она инъективна. Инъективность означает, что разным значениям аргумента ($x_1 \neq x_2$) всегда соответствуют разные значения функции ($y(x_1) \neq y(x_2)$). Проверим каждую из предложенных функций на это свойство.

1) $y = \frac{1}{x}$

Область определения $D(y)$: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: $y$ не может быть равен нулю, так как не существует такого $x$, для которого $\frac{1}{x} = 0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Проверим на инъективность. Предположим, что $y(x_1) = y(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2$ из $D(y)$. $$ \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} $$ Из этого равенства следует, что $x_1 = x_2$. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, данная функция является взаимно однозначным отображением.
Ответ: Функция $y = \frac{1}{x}$ является взаимно однозначным отображением.

2) $y = x^2 + 1$

Область определения $D(y)$: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.
Проверим на инъективность. Возьмём два различных значения аргумента, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. $$ y(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $$ $$ y(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $$ Двум разным значениям аргумента ($x_1 \neq x_2$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, эта функция не является взаимно однозначным отображением.
Ответ: Функция $y = x^2 + 1$ не является взаимно однозначным отображением.

3) $y = 2$

Это постоянная функция.
Область определения $D(y)$: функция определена для всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: функция принимает только одно значение, $E(y) = \{2\}$.
Проверим на инъективность. Возьмём любые два различных значения аргумента, например, $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. $$ y(3) = 2 $$ $$ y(4) = 2 $$ Всем значениям аргумента из $D(y)$ соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, эта функция не является взаимно однозначным отображением.
Ответ: Функция $y = 2$ не является взаимно однозначным отображением.

Таким образом, из предложенных функций только функция $y = \frac{1}{x}$ является взаимно однозначным отображением множества $D(y)$ на множество $E(y)$.