Номер 1.11, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.11, страница 12.

Условие.

1.11. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 3$;

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x}$;

3) $f(x) = (\sqrt{x})^2$.

Решение.

1)

Для того чтобы найти область значений функции $f(x) = x^2 + 3$, проанализируем её составляющие. Область определения данной функции — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$).

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. Это можно записать в виде неравенства: $x^2 \ge 0$.

Чтобы получить выражение для функции $f(x)$, прибавим число 3 к обеим частям этого неравенства:

$x^2 + 3 \ge 0 + 3$

$x^2 + 3 \ge 3$

Это означает, что значение функции $f(x)$ всегда больше или равно 3. Таким образом, наименьшее значение функции равно 3 (достигается при $x=0$), а наибольшего значения не существует.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от 3, включая 3, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [3; +\infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $f(x) = 6 - \sqrt{x}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения. Значит, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство: $\sqrt{x} \ge 0$.

Умножим обе части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\sqrt{x} \le 0$

Теперь прибавим 6 к обеим частям полученного неравенства:

$6 - \sqrt{x} \le 6 + 0$

$f(x) \le 6$

Это означает, что значение функции $f(x)$ всегда меньше или равно 6. Наибольшее значение функции равно 6 (достигается при $x=0$), а наименьшего значения не существует, так как при $x \to +\infty$, $\sqrt{x} \to +\infty$ и $f(x) \to -\infty$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от минус бесконечности до 6, включая 6.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 6]$.

3)

Рассмотрим функцию $f(x) = (\sqrt{x})^2$.

В первую очередь необходимо найти область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня не может быть отрицательным, следовательно, $x \ge 0$. Область определения функции: $D(f) = [0; +\infty)$.

Для всех допустимых значений $x$ (то есть при $x \ge 0$) выполняется тождество $(\sqrt{x})^2 = x$.

Таким образом, данная функция эквивалентна функции $f(x) = x$ на области определения $x \ge 0$.

Мы ищем множество значений, которые может принимать $f(x)$, то есть $x$, при условии, что $x \ge 0$. Это множество и есть все неотрицательные числа.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от 0, включая 0, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.