Номер 1.9, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.9, страница 12.

Условие.

1.9. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$;

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2-8x}$.

Решение.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$ находится из системы двух условий, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как извлекать корень четной степени из отрицательного числа нельзя.
$x+4 \ge 0$
$x \ge -4$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x+1 \ne 0$
$x \ne -1$

Таким образом, мы ищем все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -4$ и $x \ne -1$. На числовой прямой это соответствует промежутку от -4 (включительно) до бесконечности, с "выколотой" точкой -1. Запишем это в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in [-4; -1) \cup (-1; +\infty)$

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2-8x}$ также находится из системы двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$8-x \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2-8x \ne 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-8) \ne 0$
Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю:
$x \ne 0$ и $x-8 \ne 0$, то есть $x \ne 8$.

Объединяем полученные условия: $x \le 8$, $x \ne 0$ и $x \ne 8$. Условия $x \le 8$ и $x \ne 8$ вместе означают $x < 8$. Добавив условие $x \ne 0$, получаем все числа, которые меньше 8, за исключением нуля. Это можно записать в виде объединения двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 8)$