Номер 1.3, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.3, страница 11.

Условие.

1.3. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения графика функции с осями координат:

1) $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5}$;

2) $\varphi(x) = x^2 + 2x - 3.$

Решение.

1) Для функции $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5}$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

Пересечение с осью ординат (осью Oy):
В точке пересечения с осью Oy абсцисса $x$ равна 0. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ординату $y$:
$y = f(0) = \frac{20 + 4 \cdot 0}{3 \cdot 0 - 5} = \frac{20}{-5} = -4$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -4)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
В точке пересечения с осью Ox ордината $y$ (значение функции) равна 0. Решим уравнение $f(x) = 0$:
$\frac{20 + 4x}{3x - 5} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$20 + 4x = 0$
$4x = -20$
$x = -5$
Проверим, что знаменатель не обращается в ноль при $x = -5$:
$3x - 5 = 3(-5) - 5 = -15 - 5 = -20 \neq 0$
Условие выполнено. Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-5, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -4)$; с осью Ox в точке $(-5, 0)$.

2) Для функции $\phi(x) = x^2 + 2x - 3$

Пересечение с осью ординат (осью Oy):
Найдем значение функции при $x=0$:
$y = \phi(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -3)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):
Найдем значения $x$, при которых $y = \phi(x) = 0$:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -3)$; с осью Ox в точках $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.