Номер 1.5, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.5, страница 11.

Условие.

1.5. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} 9, & \text{если } x \le -3, \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1, \\ x, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Решение.

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый из трёх участков, на которых она определена.

1. На промежутке $x \le -3$

Функция задаётся формулой $f(x) = 9$. Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y = 9$. Поскольку это условие выполняется для $x \le -3$, мы строим луч, который начинается в точке с абсциссой $x = -3$ и идёт влево параллельно оси Ox. Координаты начальной точки луча: $(-3, 9)$. Так как неравенство нестрогое ($ \le $), точка $(-3, 9)$ включается в график.

2. На промежутке $-3 < x < 1$

Функция задаётся формулой $f(x) = x^2$. Графиком этой функции является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим эту параболу только на интервале $(-3, 1)$. Вершина параболы, точка $(0, 0)$, принадлежит данному интервалу, а значит, является точкой графика. Найдём значения функции на границах интервала, чтобы определить, где заканчивается этот кусок графика. Поскольку неравенства строгие ($<$), конечные точки интервала на графике будут "выколотыми" (незакрашенными кружками):

• При $x \to -3$, $y \to (-3)^2 = 9$. График стремится к точке $(-3, 9)$.
• При $x \to 1$, $y \to 1^2 = 1$. График стремится к точке $(1, 1)$.

Таким образом, на этом участке график представляет собой дугу параболы, соединяющую выколотые точки $(-3, 9)$ и $(1, 1)$ и проходящую через вершину $(0, 0)$.

3. На промежутке $x \ge 1$

Функция задаётся формулой $f(x) = x$. Графиком этой функции является прямая, которая является биссектрисой первого координатного угла. Мы строим эту прямую для всех $x \ge 1$. Это будет луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=1$. Координаты начальной точки луча: $(1, 1)$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), точка $(1, 1)$ включается в график. Луч идёт из этой точки вправо и вверх под углом 45° к оси Ox.

Построение итогового графика

Теперь объединим все три части на одной координатной плоскости.

• В точке $x = -3$: график первого участка заканчивается в точке $(-3, 9)$ (точка закрашена), а график второго участка "начинается" в этой же точке $(-3, 9)$ (точка выколота). При наложении этих графиков выколотая точка закрашивается. Следовательно, в точке $x = -3$ функция непрерывна.
• В точке $x = 1$: график второго участка "заканчивается" в точке $(1, 1)$ (точка выколота), а график третьего участка начинается в этой же точке $(1, 1)$ (точка закрашена). Аналогично, выколотая точка закрашивается, и в точке $x=1$ функция также непрерывна.

Таким образом, итоговый график представляет собой единую непрерывную линию.

Ответ:

График функции $f(x)$ представляет собой непрерывную линию, состоящую из трёх частей:
1. Горизонтальный луч $y=9$ для всех $x$ от $-\infty$ до $-3$ включительно.
2. Часть параболы $y=x^2$ между точками $(-3, 9)$ и $(1, 1)$, включая вершину в $(0, 0)$.
3. Луч прямой $y=x$, начинающийся в точке $(1, 1)$ и идущий вправо-вверх для всех $x \ge 1$.