Номер 1.6, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.6, страница 11.

Условие.

1.6. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Решение.

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый из трех промежутков, на которых она определена, и построить соответствующую часть графика.

Построение графика для $x < -2$

На интервале $(-\infty, -2)$ функция задана формулой $f(x) = -\frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы. Так как для $x < -2$ значения $x$ отрицательны, то $f(x) = -\frac{4}{x}$ будет положительна, следовательно, эта часть графика находится во второй координатной четверти. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.
Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = -2$. Поскольку неравенство строгое ($x < -2$), точка на графике будет выколотой (т.е. не будет принадлежать графику).
$f(-2) = -\frac{4}{-2} = 2$.
Итак, график подходит к выколотой точке с координатами $(-2, 2)$. Для более точного построения найдем еще одну контрольную точку, например, при $x=-4$:$f(-4) = -\frac{4}{-4} = 1$.

Ответ: На интервале $(-\infty, -2)$ график функции является ветвью гиперболы, проходящей через точку $(-4, 1)$ и заканчивающейся выколотой точкой $(-2, 2)$.

Построение графика для $-2 \le x \le 0$

На отрезке $[-2, 0]$ функция задана формулой $f(x) = -x$. Ее график — это отрезок прямой линии (часть биссектрисы II и IV координатных четвертей). Найдем координаты конечных точек этого отрезка.
При $x = -2$: $f(-2) = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит графику (закрашенная точка).
При $x = 0$: $f(0) = -0 = 0$. Точка $(0, 0)$ также принадлежит графику (закрашенная точка).

Ответ: На отрезке $[-2, 0]$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$.

Построение графика для $x > 0$

На интервале $(0, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = \sqrt{x}$. Графиком является ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдем значение на границе интервала, в точке $x = 0$. Так как неравенство строгое ($x > 0$), точка на графике будет выколотой.
$f(0) = \sqrt{0} = 0$.
Таким образом, график начинается в выколотой точке $(0, 0)$. Для построения возьмем несколько контрольных точек:
При $x=1$, $f(1)=\sqrt{1}=1$, точка $(1, 1)$.
При $x=4$, $f(4)=\sqrt{4}=2$, точка $(4, 2)$.

Ответ: На интервале $(0, +\infty)$ график функции является ветвью параболы, выходящей из выколотой точки $(0, 0)$ и проходящей через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, мы получаем итоговый график. В точке $x=-2$ выколотая точка от гиперболы $(-2, 2)$ "заполняется" начальной точкой отрезка. Аналогично, в точке $x=0$ конечная точка отрезка $(0, 0)$ "заполняется" начальной выколотой точкой параболической ветви. Это означает, что функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. Итоговый график представляет собой непрерывную линию.