Номер 1.8, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.8, страница 12.

Условие.

1.8. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x}{|x|-7}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x}+2} + \frac{4x-3}{x^2-7x+6}$.

Решение.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x}{|x| - 7}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$|x| - 7 = 0$

$|x| = 7$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -7 и 7.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2 - 7x + 6}$ представляет собой сумму двух слагаемых. Область определения функции будет пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Рассмотрим первое слагаемое $\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}}$. Для него должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень в знаменателе и деление на ноль недопустимо): $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Пересечением этих двух условий ($x \ge 4$ и $x > -2$) является $x \ge 4$.

Рассмотрим второе слагаемое $\frac{4x-3}{x^2 - 7x + 6}$. Для него знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 7x + 6 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

Теперь найдем общую область определения, объединив все условия:

$\begin{cases} x \ge 4 \\ x \neq 1 \\ x \neq 6 \end{cases}$

Условие $x \neq 1$ автоматически выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 4$. Остается исключить значение $x=6$ из промежутка $[4; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции — это объединение промежутков от 4 (включительно) до 6 (не включая) и от 6 (не включая) до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in [4; 6) \cup (6; +\infty)$.