Номер 1.15, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.15, страница 12.

Условие.

1.15. Даны функции $f(x) = 1 - 3x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Задайте формулой функцию:

1) $y = f(x + 1)$;

2) $y = g(f(x))$;

3) $y = f(f(x))$.

Решение.

Даны функции $f(x) = 1 - 3x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Найдем заданные функции.

1) $y = f(x + 1)$

Для нахождения функции $y = f(x + 1)$ необходимо в формулу для функции $f(x)$ подставить вместо аргумента $x$ выражение $x+1$.

$f(x) = 1 - 3x$

$y = f(x + 1) = 1 - 3(x + 1)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 1 - 3x - 3 = -3x - 2$

Ответ: $y = -3x - 2$.

2) $y = g(f(x))$

Для нахождения сложной функции $y = g(f(x))$ необходимо в формулу для функции $g(x)$ подставить вместо аргумента $x$ выражение для функции $f(x)$, то есть $1 - 3x$.

$g(x) = x^2 - 1$

$f(x) = 1 - 3x$

$y = g(f(x)) = (f(x))^2 - 1 = (1 - 3x)^2 - 1$

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок:

$y = (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (3x) + (3x)^2) - 1 = (1 - 6x + 9x^2) - 1$

Упростим полученное выражение:

$y = 1 - 6x + 9x^2 - 1 = 9x^2 - 6x$

Ответ: $y = 9x^2 - 6x$.

3) $y = f(f(x))$

Для нахождения функции $y = f(f(x))$ необходимо в формулу для функции $f(x)$ подставить вместо аргумента $x$ само выражение для $f(x)$, то есть $1 - 3x$.

$f(x) = 1 - 3x$

$y = f(f(x)) = 1 - 3(f(x)) = 1 - 3(1 - 3x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 1 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-3x) = 1 - 3 + 9x = 9x - 2$

Ответ: $y = 9x - 2$.