Номер 1.17, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.17, страница 12.

Условие.

1.17. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;

2) множество всех чисел, которые не меньше 5;

3) множество всех чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;

4) множество, состоящее из одного числа -4.

Решение.

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2

Область определения функции — это все действительные числа $x$, за исключением $x=1$ и $x=2$. Чтобы исключить эти точки из области определения, можно использовать дроби, так как деление на ноль не определено.

Мы можем создать знаменатель, который обращается в ноль при $x=1$ и $x=2$. Для этого нужно, чтобы в знаменателе были множители $(x-1)$ и $(x-2)$. Перемножив их, получим выражение $(x-1)(x-2)$.

Таким образом, функция вида $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$ будет определена для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю, то есть кроме $x=1$ и $x=2$.

Ответ: $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$

2) множество всех чисел, которые не меньше 5

Условие "числа, которые не меньше 5" означает, что область определения функции задается неравенством $x \ge 5$.

Чтобы задать такую область определения, удобно использовать функцию квадратного корня, так как выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Неравенство $x \ge 5$ эквивалентно неравенству $x - 5 \ge 0$. Если мы поместим выражение $x-5$ под знак квадратного корня, то получим функцию, которая определена только для $x \ge 5$.

Ответ: $y = \sqrt{x-5}$

3) множество всех чисел, которые не больше 10, кроме числа -1

Данная область определения описывается двумя условиями: $x \le 10$ и $x \ne -1$.

Для выполнения этих условий мы можем скомбинировать подходы из предыдущих пунктов.

1. Условие $x \le 10$ можно записать как $10-x \ge 0$. Этой области определения соответствует функция с квадратным корнем $y = \sqrt{10-x}$.
2. Условие $x \ne -1$ можно обеспечить, поместив в знаменатель дроби выражение, которое обращается в ноль при $x=-1$. Таким выражением является $(x+1)$.

Объединив эти два условия, мы получим дробь, в числителе которой стоит корень, а в знаменателе — выражение, исключающее точку. Функция будет определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{10-x}}{x+1}$

4) множество, состоящее из одного числа -4

Требуется задать функцию, которая определена только в одной точке $x=-4$.

Такую область определения можно получить, если скомбинировать два условия, пересечение которых дает единственную точку. Например, $x \ge -4$ и $x \le -4$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x = -4$.

1. Условию $x \ge -4$ (или $x+4 \ge 0$) соответствует функция $y_1 = \sqrt{x+4}$.
2. Условию $x \le -4$ (или $-x-4 \ge 0$) соответствует функция $y_2 = \sqrt{-x-4}$.

Область определения суммы функций $y = y_1 + y_2$ является пересечением их областей определения. В данном случае это будет только точка $x=-4$.
Другой вариант — использовать выражение, которое неотрицательно только в одной точке. Например, выражение $-(x+4)^2$ равно нулю при $x=-4$ и отрицательно при всех других значениях $x$. Тогда функция $y=\sqrt{-(x+4)^2}$ также будет определена только при $x=-4$.

Ответ: $y = \sqrt{x+4} + \sqrt{-x-4}$