Номер 1.20, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.20, страница 13.

Условие.

1.20. Функция $f$ задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 3. Найдите $f(2)$, $f(0)$, $f(-17)$, $f(21)$. Найдите $E(f)$. Докажите, что $f(x) = f(x+3)$ для любого $x \in Z$.

Решение.

Функция $f$ определена для любого целого числа $x \in \mathbb{Z}$ как остаток от деления этого числа на 3. Это можно записать с помощью операции взятия остатка: $f(x) = x \pmod 3$.

Найдите f(2), f(0), f(-17), f(21)

Чтобы найти значения функции, необходимо вычислить остаток от деления каждого аргумента на 3. По определению, остаток $r$ при делении целого числа $a$ на 3 должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 3$.

• Для $x=2$: $2 = 3 \cdot 0 + 2$. Остаток равен 2. Следовательно, $f(2) = 2$.

• Для $x=0$: $0 = 3 \cdot 0 + 0$. Остаток равен 0. Следовательно, $f(0) = 0$.

• Для $x=-17$: Необходимо найти целое $q$ такое, что $-17 = 3q + r$ и $0 \le r < 3$. Подходит $q=-6$: $-17 = 3 \cdot (-6) + 1$. Остаток равен 1. Следовательно, $f(-17) = 1$.

• Для $x=21$: $21 = 3 \cdot 7 + 0$. Остаток равен 0. Следовательно, $f(21) = 0$.

Ответ: $f(2)=2$, $f(0)=0$, $f(-17)=1$, $f(21)=0$.

Найдите E(f)

Множество значений функции $E(f)$ - это совокупность всех возможных значений, которые может принимать $f(x)$. Поскольку $f(x)$ - это остаток от деления на 3, по определению деления с остатком, эти значения могут быть только 0, 1 или 2. Каждое из этих значений достигается, например: $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=2$.

Таким образом, множество значений функции состоит из этих трех элементов.

Ответ: $E(f) = \{0, 1, 2\}$.

Докажите, что $f(x) = f(x+3)$ для любого $x \in \mathbb{Z}$

Пусть $x$ - произвольное целое число. Согласно теореме о делении с остатком, существуют единственные целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток) такие, что:

$x = 3q + r$, где $0 \le r < 3$.

По определению функции $f$, значение $f(x)$ равно этому остатку $r$. То есть, $f(x) = r$.

Теперь рассмотрим число $x+3$. Подставим в это выражение представление $x$:

$x+3 = (3q + r) + 3$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить множитель 3:

$x+3 = 3q + 3 + r = 3(q+1) + r$

Обозначим $q' = q+1$. Поскольку $q$ - целое число, $q'$ также является целым числом. Тогда мы получаем:

$x+3 = 3q' + r$

Это равенство показывает, что при делении числа $x+3$ на 3 частное равно $q'$, а остаток равен $r$. Так как $0 \le r < 3$, этот остаток $r$ является результатом операции $f(x+3)$.

Следовательно, $f(x+3) = r$.

Так как мы установили, что $f(x) = r$ и $f(x+3) = r$, то отсюда следует, что $f(x) = f(x+3)$ для любого $x \in \mathbb{Z}$. Доказательство завершено.

Ответ: Доказано, что $f(x) = f(x+3)$ для любого $x \in \mathbb{Z}$.