Номер 1.26, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.26, страница 13.

Условие.

1.26. Постройте график функции $y = (\sqrt{(x+2)^2x})^2 - x^3 - 4x^2$.

Решение.

Для построения графика функции $y = (\sqrt{(x+2)^2x})^2 - x^3 - 4x^2$ необходимо сначала найти ее область определения, а затем упростить выражение.

Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $(x+2)^2x \ge 0$.

Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен, так как является полным квадратом. Он равен нулю при $x = -2$ и положителен при всех остальных значениях $x$. Следовательно, неравенство выполняется в двух случаях:

• Когда $x \ge 0$. В этом случае оба множителя, $(x+2)^2$ и $x$, неотрицательны, и их произведение также неотрицательно.
• Когда $(x+2)^2 = 0$, то есть при $x = -2$. В этом случае подкоренное выражение равно $0$, что является допустимым значением.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = \{-2\} \cup [0, +\infty)$.

Упрощение выражения функции

На найденной области определения функции можно выполнить ее упрощение. Используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем: $y = (x+2)^2x - x^3 - 4x^2$.

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $y = (x^2 + 4x + 4)x - x^3 - 4x^2$ $y = x^3 + 4x^2 + 4x - x^3 - 4x^2$ $y = 4x$.

Построение графика

График исходной функции совпадает с графиком функции $y=4x$ на ее области определения $D(y) = \{-2\} \cup [0, +\infty)$.

Следовательно, график состоит из двух частей:

• Изолированная точка. Найдем ее координаты, подставив $x=-2$ в упрощенную формулу $y=4x$:
  $y(-2) = 4 \cdot (-2) = -8$.
  Координаты точки: $(-2, -8)$.
• Луч. Это часть прямой $y=4x$ для всех $x \ge 0$. Луч начинается в точке $(0,0)$, так как $y(0) = 4 \cdot 0 = 0$, и проходит, например, через точку $(1,4)$ в первой координатной четверти.

Итак, график функции представляет собой изолированную точку $(-2, -8)$ и луч, выходящий из начала координат $(0,0)$.

Ответ: График функции состоит из изолированной точки с координатами $(-2, -8)$ и луча, задаваемого уравнением $y=4x$ при $x \ge 0$.