Номер 1.27, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.27, страница 13.

Условие.

1.27. Известно, что $D(f) = [-1; 4]$. Найдите область определения функции:

1) $y = f(-x)$;

2) $y = f(2x)$;

3) $y = f(1-x)$;

4) $y = f(x^2)$;

5) $y = f(|x|)$;

6) $y = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

Решение.

По условию, область определения функции $f$, обозначаемая как $D(f)$, представляет собой отрезок $[-1; 4]$. Это означает, что для любого выражения $t$, которое является аргументом функции $f$, должно выполняться неравенство:

$-1 \le t \le 4$

Мы будем использовать это правило для нахождения области определения каждой из предложенных функций.

1) y = f(-x);

Аргументом функции является выражение $-x$. Следовательно, оно должно находиться в пределах области определения исходной функции $f$. Составим и решим неравенство:

$-1 \le -x \le 4$

Умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge 4 \cdot (-1)$

$1 \ge x \ge -4$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-4 \le x \le 1$

Таким образом, область определения функции $y = f(-x)$ — это отрезок $[-4; 1]$.

Ответ: $D(y) = [-4; 1]$.

2) y = f(2x);

Аргументом функции является $2x$. Составим неравенство:

$-1 \le 2x \le 4$

Разделим все части неравенства на 2 (знаки неравенства не меняются):

$- \frac{1}{2} \le x \le \frac{4}{2}$

$-0.5 \le x \le 2$

Область определения функции $y = f(2x)$ — это отрезок $[-0.5; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-0.5; 2]$.

3) y = f(1-x);

Аргументом функции является $1-x$. Составим неравенство:

$-1 \le 1-x \le 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le -x \le 4 - 1$

$-2 \le -x \le 3$

Умножим все части на $-1$, меняя знаки неравенства:

$2 \ge x \ge -3$

Запишем в стандартном виде:

$-3 \le x \le 2$

Область определения функции $y = f(1-x)$ — это отрезок $[-3; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-3; 2]$.

4) y = f(x²);

Аргументом функции является $x²$. Составим неравенство:

$-1 \le x^2 \le 4$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge -1 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 \ge -1$, верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 4$. Это равносильно $x^2 - 4 \le 0$, или $(x-2)(x+2) \le 0$. Решением этого неравенства является отрезок $[-2; 2]$.

Областью определения будет пересечение решений этих двух неравенств, то есть $x \in [-2; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-2; 2]$.

5) y = f(|x|);

Аргументом функции является $|x|$. Составим неравенство:

$-1 \le |x| \le 4$

Разобьем на систему двух неравенств:

$\begin{cases} |x| \ge -1 \\ |x| \le 4 \end{cases}$

Первое неравенство, $|x| \ge -1$, верно для любого действительного числа $x$, так как модуль любого числа всегда неотрицателен.

Второе неравенство, $|x| \le 4$, равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$.

Пересечение решений этих двух неравенств дает отрезок $[-4; 4]$.

Ответ: $D(y) = [-4; 4]$.

6) y = f(1/x);

Аргументом функции является $1/x$. Во-первых, сам по себе аргумент $1/x$ определён только при $x \ne 0$. Во-вторых, должно выполняться неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 4$

Для решения этого неравенства рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 0$.

Умножим неравенство на $x$. Так как $x > 0$, знаки неравенства не меняются:

$-x \le 1 \le 4x$

Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} -x \le 1 \\ 1 \le 4x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge \frac{1}{4} \end{cases}$

Пересекая решения $x \ge -1$ и $x \ge 1/4$ с условием случая $x > 0$, получаем $x \ge 1/4$. То есть, $x \in [1/4; +\infty)$.

Случай 2: $x < 0$.

Умножим неравенство на $x$. Так как $x < 0$, знаки неравенства меняются на противоположные:

$-x \ge 1 \ge 4x$

Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} -x \ge 1 \\ 1 \ge 4x \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -1 \\ x \le \frac{1}{4} \end{cases}$

Пересекая решения $x \le -1$ и $x \le 1/4$ с условием случая $x < 0$, получаем $x \le -1$. То есть, $x \in (-\infty; -1]$.

Область определения функции является объединением решений из обоих случаев.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1/4; +\infty)$.