Номер 1.30, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.30, страница 14.

Условие.

1.30. Найдите область значений функции:

1) $y = \mathcal{D}([x])$;

2) $y = \mathcal{D}(\{x\})$;

3) $y = x\mathcal{D}(x)$.

Решение.

Для решения этой задачи вспомним определение функции Дирихле $\mathcal{D}(t)$, а также функций целой части $[x]$ и дробной части $\{x\}$ числа.

Функция Дирихле $\mathcal{D}(t)$ определяется следующим образом:
$\mathcal{D}(t) = \begin{cases} 1, & \text{если } t \text{ — рациональное число } (t \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } t \text{ — иррациональное число } (t \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$

Функция целой части $[x]$ возвращает наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Функция дробной части $\{x\}$ определяется как $\{x\} = x - [x]$.

1) $y = \mathcal{D}([x])$

Аргументом функции Дирихле здесь является целая часть числа $x$, то есть $[x]$.
Для любого действительного числа $x$ значение $[x]$ является целым числом.
Любое целое число является рациональным числом (например, число $n$ можно представить в виде дроби $n/1$).
Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$, значение $[x]$ всегда является рациональным числом.
Согласно определению функции Дирихле, если ее аргумент рационален, значение функции равно 1.
Таким образом, $y = \mathcal{D}([x]) = 1$ для любого действительного $x$.
Область значений функции состоит из одного единственного числа 1.

Ответ: $\{1\}$

2) $y = \mathcal{D}(\{x\})$

Аргументом функции Дирихле является дробная часть числа $x$, то есть $\{x\}$.
Рассмотрим два случая для $x$:
1. Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то его дробная часть $\{x\} = x - [x]$ также является рациональным числом (как разность двух рациональных чисел). В этом случае, так как аргумент $\{x\}$ рационален, $\mathcal{D}(\{x\}) = 1$.
2. Если $x$ — иррациональное число ($x \notin \mathbb{Q}$), то его дробная часть $\{x\} = x - [x]$ является иррациональным числом (так как разность иррационального и целого чисел иррациональна). В этом случае, так как аргумент $\{x\}$ иррационален, $\mathcal{D}(\{x\}) = 0$.
Поскольку $x$ может быть как рациональным, так и иррациональным числом, функция $y = \mathcal{D}(\{x\})$ может принимать значения 1 и 0.
Следовательно, область значений этой функции состоит из двух чисел: 0 и 1.

Ответ: $\{0, 1\}$

3) $y = x\mathcal{D}(x)$

Значение этой функции зависит от того, является ли $x$ рациональным или иррациональным числом.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$), то по определению $\mathcal{D}(x) = 1$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot 1 = x$. Это означает, что любое рациональное число $x$ является значением функции.
2. Если $x$ — иррациональное число ($x \notin \mathbb{Q}$), то по определению $\mathcal{D}(x) = 0$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot 0 = 0$. Это означает, что для любого иррационального $x$ значением функции является 0.
Объединяя оба случая, мы видим, что область значений функции включает в себя все рациональные числа (из первого случая) и число 0 (из второго случая).
Поскольку 0 само по себе является рациональным числом, то область значений функции — это множество всех рациональных чисел.

Ответ: $\mathbb{Q}$ (множество всех рациональных чисел)