Номер 1.12, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.12, страница 12.

Условие.

1.12. Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества $D(y)$ на множество $E(y):

1) $y = 2x + 1$;

2) $y = |x|$;

3) $y = \sqrt{x}$?

Решение.

Взаимно однозначное отображение (или биекция) множества $D(y)$ (область определения) на множество $E(y)$ (область значений) — это такая функция, при которой каждому элементу из области значений $y \in E(y)$ соответствует ровно один элемент из области определения $x \in D(y)$. Для этого функция должна быть инъективной, то есть из равенства $y(x_1) = y(x_2)$ должно следовать равенство $x_1 = x_2$. Отображение "на" множество $E(y)$ (сюръективность) гарантируется тем, что $E(y)$ является областью значений функции. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = 2x + 1$

Это линейная функция. Её область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, и область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Проверим инъективность. Пусть $y(x_1) = y(x_2)$, тогда $2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$. Вычитая 1 из обеих частей, получаем $2x_1 = 2x_2$, и, разделив на 2, приходим к $x_1 = x_2$. Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, эта функция является инъективной. Следовательно, она осуществляет взаимно однозначное отображение $D(y)$ на $E(y)$.

2) $y = |x|$

Функция модуля. Её область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, а область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Эта функция не является инъективной. Например, для разных аргументов $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ значение функции одинаково: $y(-3) = |-3| = 3$ и $y(3) = |3| = 3$. Поскольку разным элементам из области определения соответствует один и тот же элемент из области значений ($y(-3)=y(3)$, но $-3 \neq 3$), эта функция не является взаимно однозначным отображением.

3) $y = \sqrt{x}$

Функция квадратного корня. Её область определения $D(y) = [0; +\infty)$, и область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Проверим инъективность. Пусть $y(x_1) = y(x_2)$ для $x_1, x_2 \in [0; +\infty)$. Тогда $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, получив $x_1 = x_2$. Это доказывает, что функция инъективна на своей области определения. Следовательно, она также осуществляет взаимно однозначное отображение $D(y)$ на $E(y)$.

Ответ: Взаимно однозначным отображением являются функции 1) $y = 2x + 1$ и 3) $y = \sqrt{x}$. Функция 2) $y = |x|$ не является таковой, так как она не инъективна.