Номер 1.2, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 1. Функция - номер 1.2, страница 11.

Условие.

1.2. Заполните таблицу.

Значение аргумента $x$

Значение функции

$f(x) = [x]$

$g(x) = \{x\}$

$\varphi(x) = \mathcal{D}(x)$

3,2

-3,2

$\sqrt{3}$

$-\sqrt{3}$

Решение.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения трех функций для каждого заданного аргумента $x$. Дадим определения этим функциям:

• $f(x) = [x]$ — функция «целая часть числа» (или антье). Она возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.
• $g(x) = \{x\}$ — функция «дробная часть числа». Она вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Значение дробной части всегда находится в промежутке $[0, 1)$.
• $\varphi(x) = \mathfrak{D}(x)$ — функция Дирихле. Она равна 1, если $x$ — рациональное число (которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$), и 0, если $x$ — иррациональное число.

Теперь вычислим значения функций для каждого аргумента.

---

Для значения аргумента $x = 3,2$

$f(x) = [x]$: Целая часть числа 3,2 — это наибольшее целое число, не превосходящее 3,2. Это число 3.
$f(3,2) = [3,2] = 3$.
Ответ: 3

$g(x) = \{x\}$: Дробная часть вычисляется как разность между числом и его целой частью.
$g(3,2) = \{3,2\} = 3,2 - [3,2] = 3,2 - 3 = 0,2$.
Ответ: 0,2

$\varphi(x) = \mathfrak{D}(x)$: Число 3,2 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$. Для рациональных чисел функция Дирихле равна 1.
$\varphi(3,2) = \mathfrak{D}(3,2) = 1$.
Ответ: 1

---

Для значения аргумента $x = -3,2$

$f(x) = [x]$: Целая часть числа -3,2 — это наибольшее целое число, не превосходящее -3,2. На числовой прямой это будет -4, так как $-4 \le -3,2 < -3$.
$f(-3,2) = [-3,2] = -4$.
Ответ: -4

$g(x) = \{x\}$: Вычисляем дробную часть по определению.
$g(-3,2) = \{-3,2\} = -3,2 - [-3,2] = -3,2 - (-4) = 4 - 3,2 = 0,8$.
Ответ: 0,8

$\varphi(x) = \mathfrak{D}(x)$: Число -3,2 является рациональным, так как $-3,2 = -\frac{32}{10} = -\frac{16}{5}$. Значение функции Дирихле для рациональных чисел равно 1.
$\varphi(-3,2) = \mathfrak{D}(-3,2) = 1$.
Ответ: 1

---

Для значения аргумента $x = \sqrt{3}$

$f(x) = [x]$: Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{3}$, это 1.
$f(\sqrt{3}) = [\sqrt{3}] = 1$.
Ответ: 1

$g(x) = \{x\}$: Вычисляем дробную часть.
$g(\sqrt{3}) = \{\sqrt{3}\} = \sqrt{3} - [\sqrt{3}] = \sqrt{3} - 1$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1$

$\varphi(x) = \mathfrak{D}(x)$: Число $\sqrt{3}$ является иррациональным, так как его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Для иррациональных чисел функция Дирихле равна 0.
$\varphi(\sqrt{3}) = \mathfrak{D}(\sqrt{3}) = 0$.
Ответ: 0

---

Для значения аргумента $x = -\sqrt{3}$

$f(x) = [x]$: Приблизительное значение $-\sqrt{3} \approx -1,732$. Так как $-2 < -\sqrt{3} < -1$, наибольшее целое число, не превосходящее $-\sqrt{3}$, это -2.
$f(-\sqrt{3}) = [-\sqrt{3}] = -2$.
Ответ: -2

$g(x) = \{x\}$: Вычисляем дробную часть.
$g(-\sqrt{3}) = \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} - [-\sqrt{3}] = -\sqrt{3} - (-2) = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$

$\varphi(x) = \mathfrak{D}(x)$: Число $-\sqrt{3}$ также является иррациональным. Следовательно, значение функции Дирихле равно 0.
$\varphi(-\sqrt{3}) = \mathfrak{D}(-\sqrt{3}) = 0$.
Ответ: 0