Номер 2, страница 67 - гдз по физике 9 класс тетрадь-тренажёр Артеменков, Белага

V. Законы сохранения в механике. Решаем задачи - номер 2, страница 67.

Условие.

2. Движение материальной точки описывается уравнением $x = 20 - 12t + 0.5t^2$. Считая массу материальной точки равной 2 кг, определите изменение импульса точки за первые 10 с с момента начала движения. Рассчитайте импульс силы и модуль силы, вызвавшей это изменение за это же время.

Решение.

Дано:

Уравнение движения: $x(t) = 20 - 12t + 0.5t^2$ (в СИ)

Масса материальной точки: $m = 2 \text{ кг}$

Промежуток времени: $\Delta t = 10 \text{ с}$ (от $t_1=0 \text{ с}$ до $t_2=10 \text{ с}$)

Найти:

Изменение импульса точки: $\Delta p - ?$

Импульс силы: $I - ?$

Модуль силы: $F - ?$

Решение:

Для нахождения изменения импульса необходимо определить скорости материальной точки в начальный и конечный моменты времени.

Скорость $\text{v}$ является первой производной от координаты $\text{x}$ по времени $\text{t}$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(20 - 12t + 0.5t^2) = -12 + 2 \cdot 0.5t = -12 + t$

Найдем скорость в начальный момент времени $t_1 = 0 \text{ с}$:

$v_1 = v(0) = -12 + 0 = -12 \text{ м/с}$

Найдем скорость в конечный момент времени $t_2 = 10 \text{ с}$:

$v_2 = v(10) = -12 + 10 = -2 \text{ м/с}$

Изменение импульса точки

Изменение импульса $\Delta p$ определяется как разность конечного ($p_2$) и начального ($p_1$) импульсов:

$\Delta p = p_2 - p_1 = m v_2 - m v_1 = m(v_2 - v_1)$

Подставим известные значения:

$\Delta p = 2 \text{ кг} \cdot (-2 \text{ м/с} - (-12 \text{ м/с})) = 2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}) = 20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: изменение импульса точки за первые 10 с равно $20 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Импульс силы

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме (теорема об изменении импульса), импульс силы $\text{I}$ равен изменению импульса тела:

$I = \Delta p$

Следовательно, импульс силы равен:

$I = 20 \text{ Н} \cdot \text{с}$

Ответ: импульс силы равен $20 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Модуль силы

Модуль силы $\text{F}$, вызвавшей изменение импульса, можно найти, зная, что импульс силы также равен произведению силы на время ее действия ($I = F \cdot \Delta t$). Так как из уравнения движения следует, что ускорение постоянно, то и сила постоянна.

$F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$

$F = \frac{20 \text{ Н} \cdot \text{с}}{10 \text{ с}} = 2 \text{ Н}$

Также силу можно найти через второй закон Ньютона $F=ma$. Для этого найдем ускорение $\text{a}$ как производную от скорости:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-12 + t) = 1 \text{ м/с}^2$

Ускорение постоянно. Тогда сила:

$F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$

Ответ: модуль силы равен $2 \text{ Н}$.