Номер 3.15, страница 17 - гдз по физике 9 класс задачник Артеменков, Ломаченков

III. Звук - номер 3.15, страница 17.

Условие.

3.15 Мальчик бросил камень в глубокий колодец и услышал всплеск воды через 3 с. Определите глубину колодца. Скорость звука принять равной 330 м/с. Начальную скорость камня принять равной нулю.

Решение.

Дано:

Общее время, $t$ = 3 с
Скорость звука, $v_{зв}$ = 330 м/с
Начальная скорость камня, $v_0$ = 0 м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Глубина колодца, $h$ - ?

Решение:

Общее время $t$, которое прошло с момента броска камня до момента, когда мальчик услышал всплеск, состоит из двух промежутков времени:

1. Время падения камня до поверхности воды ($t_1$).

2. Время, за которое звук от всплеска дошел от поверхности воды до мальчика ($t_2$).

Таким образом, общее время можно записать как: $t = t_1 + t_2$

Найдем выражения для $t_1$ и $t_2$ через глубину колодца $h$.

Движение камня — это свободное падение без начальной скорости. Глубина колодца $h$ связана со временем падения $t_1$ формулой: $h = v_0 t_1 + \frac{g t_1^2}{2}$ Поскольку $v_0 = 0$, формула упрощается: $h = \frac{g t_1^2}{2}$ Выразим из этой формулы время падения $t_1$: $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Звук распространяется равномерно с постоянной скоростью $v_{зв}$. Время $t_2$, за которое звук проходит расстояние $h$, равно: $t_2 = \frac{h}{v_{зв}}$

Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в исходное уравнение для общего времени: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$

Подставим известные значения в это уравнение: $3 = \sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{330}$

Это уравнение можно решить относительно $h$. Для удобства введем замену: пусть $x = \sqrt{h}$. Тогда $h = x^2$. Уравнение примет вид: $3 = \sqrt{\frac{2}{9.8}} \cdot x + \frac{1}{330} \cdot x^2$

Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $\frac{1}{330}x^2 + \sqrt{\frac{2}{9.8}}x - 3 = 0$ Вычислим коэффициенты: $a = \frac{1}{330} \approx 0.00303$ $b = \sqrt{\frac{2}{9.8}} \approx \sqrt{0.2041} \approx 0.4518$ $c = -3$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (0.4518)^2 - 4 \cdot (0.00303) \cdot (-3) \approx 0.2041 + 0.03636 = 0.24046$ $\sqrt{D} \approx 0.4904$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Поскольку $x = \sqrt{h}$, корень должен быть положительным, поэтому используем знак "+": $x = \frac{-0.4518 + 0.4904}{2 \cdot 0.00303} = \frac{0.0386}{0.00606} \approx 6.37$

Теперь найдем глубину колодца $h$: $h = x^2 \approx (6.37)^2 \approx 40.58$ м

Проверим полученный результат: Время падения камня: $t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 40.58}{9.8}} \approx \sqrt{8.28} \approx 2.878$ с. Время распространения звука: $t_2 = \frac{40.58}{330} \approx 0.123$ с. Общее время: $t = t_1 + t_2 \approx 2.878 + 0.123 = 3.001$ с. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: глубина колодца составляет примерно 40.6 м.