Номер 1, страница 10 - гдз по физике 9 класс самостоятельные работы Генденштейн, Орлов

Самостоятельная работа 1. Механическое движение. Вариант 4 - номер 1, страница 10.

Условие.

Прочитайте текст и ответьте на вопросы.

Пути, проходимые при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени

Основные свойства прямолинейного равноускоренного движения установил Г. Галилей. Например, он обнаружил, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечётные числа ($1 : 3 : 5 : 7...$). Это свойство прямолинейного равноускоренного движения схематически иллюстрирует рисунок 1.

Рис. 1

Докажем это для трёх первых последовательных промежутков времени. Для этого воспользуемся тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости модуля скорости от времени. На рисунке 2, а пути, пройденные за каждый из трёх первых последовательных равных промежутков времени (для определённости мы взяли по 1 с каждый), численно равны площади треугольника и двух трапеций. Разобьём две трапеции на треугольники, площадь каждого из которых равна пути, пройденному за первую секунду (рис. 2, б). Это разбиение наглядно показывает, что пути, пройденные за три первых последовательных равных промежутка времени, относятся как $1 : 3 : 5$.

Рис. 2

1. Тело движется равноускоренно без начальной скорости. За третью секунду тело прошло 15 м. Какой путь тело прошло за вторую секунду?

Решение.

1. Дано:

Движение равноускоренное, прямолинейное
Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Путь, пройденный за третью секунду: $s_3 = 15 \text{ м}$

Найти:

Путь, пройденный за вторую секунду: $s_2$ - ?

Решение:

Данную задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Использование свойства равноускоренного движения, описанного в тексте.

В тексте указано, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательные нечётные числа:
$s_1 : s_2 : s_3 : ... = 1 : 3 : 5 : ...$
где $s_1$, $s_2$, $s_3$ – пути, пройденные за первую, вторую и третью секунды соответственно.

Из этого соотношения можно составить пропорцию для второй и третьей секунд:
$\frac{s_2}{s_3} = \frac{3}{5}$

Выразим искомый путь $s_2$, зная, что $s_3 = 15 \text{ м}$:
$s_2 = s_3 \cdot \frac{3}{5} = 15 \text{ м} \cdot \frac{3}{5} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ м}$.

Способ 2. Использование кинематических формул.

Путь, пройденный телом за время $t$ при равноускоренном движении без начальной скорости, определяется формулой:
$S(t) = \frac{at^2}{2}$
где $a$ — ускорение тела.

Путь, пройденный за n-ную секунду ($s_n$), равен разности путей, пройденных за $n$ секунд и за $n-1$ секунд:
$s_n = S(t=n) - S(t=n-1)$

Найдем путь, пройденный за третью секунду ($n=3$):
$s_3 = S(3) - S(2) = \frac{a \cdot 3^2}{2} - \frac{a \cdot 2^2}{2} = \frac{9a}{2} - \frac{4a}{2} = \frac{5a}{2}$

По условию $s_3 = 15 \text{ м}$. Подставив это значение, найдем ускорение $a$:
$15 = \frac{5a}{2}$
$a = \frac{15 \cdot 2}{5} = 6 \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем путь, пройденный за вторую секунду ($n=2$):
$s_2 = S(2) - S(1) = \frac{a \cdot 2^2}{2} - \frac{a \cdot 1^2}{2} = \frac{4a}{2} - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$

Подставим найденное значение ускорения $a = 6 \text{ м/с}^2$:
$s_2 = \frac{3 \cdot 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ м}$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: за вторую секунду тело прошло 9 м.