Номер 14, страница 124, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 14, страница 124.

Условие.

14. Пластилиновые шары массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ вдоль одной прямой навстречу друг другу. В результате столкновения шары слипаются и движутся как единое целое. Обозначим $\vec{v}$ скорость этого тела.

а) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в векторной форме.

б) Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в проекциях на ось $\text{x}$.

в) Выразите проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$ через проекции скоростей шаров и массы шаров.

г) Как направлена скорость образовавшегося тела, если модуль начального импульса первого шара больше, чем второго?

Решение.

Дано:

Масса первого шара: $m_1$

Масса второго шара: $m_2$

Начальная скорость первого шара: $\vec{v}_1$

Начальная скорость второго шара: $\vec{v}_2$

Шары движутся вдоль одной прямой навстречу друг другу. После столкновения шары слипаются и движутся как единое целое со скоростью $\vec{v}$.

Найти:

а) Уравнение закона сохранения импульса в векторной форме.

б) Уравнение закона сохранения импульса в проекциях на ось $\text{x}$.

в) Проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$.

г) Направление скорости $\vec{v}$, если $|m_1\vec{v}_1| > |m_2\vec{v}_2|$.

Решение:

а) Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не изменяется с течением времени при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. До столкновения суммарный импульс системы равен сумме импульсов двух шаров: $\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$. После столкновения шары слипаются, образуя единое тело массой $(m_1 + m_2)$, которое движется со скоростью $\vec{v}$. Импульс этого тела: $\vec{p}_{после} = (m_1 + m_2)\vec{v}$. Приравнивая импульсы до и после взаимодействия, получаем уравнение в векторной форме.

Ответ: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

б) Для записи уравнения в проекциях выберем ось $\text{x}$, направленную вдоль начальной скорости первого шара $\vec{v}_1$. Так как шары движутся навстречу друг другу, вектор скорости второго шара $\vec{v}_2$ будет направлен в противоположную сторону. Тогда проекции скоростей на ось $\text{x}$ будут: $v_{1x} = v_1$ (положительная) и $v_{2x} = -v_2$ (отрицательная). Проекция скорости образовавшегося тела будет $v_x$. Спроецируем векторное уравнение из пункта а) на ось $\text{x}$.

Ответ: $m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = (m_1 + m_2)v_x$

в) Чтобы выразить проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$, необходимо решить уравнение, полученное в пункте б), относительно $v_x$. Для этого разделим обе части уравнения на суммарную массу $(m_1 + m_2)$.

Ответ: $v_x = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x}}{m_1 + m_2}$

г) Условие "модуль начального импульса первого шара больше, чем второго" записывается как $|m_1\vec{v}_1| > |m_2\vec{v}_2|$. В проекциях на ось $\text{x}$, которую мы направили вдоль движения первого шара (см. пункт б), это означает, что $m_1v_{1x} > m_2|v_{2x}|$. Суммарный начальный импульс в проекции на ось $\text{x}$ равен $p_x = m_1v_{1x} + m_2v_{2x}$. Так как $v_{1x} > 0$ и $v_{2x} < 0$, а по модулю $m_1v_{1x}$ больше, чем $m_2|v_{2x}|$, то суммарная проекция начального импульса $p_x$ будет положительной ($m_1v_{1x} + m_2v_{2x} > 0$). Согласно выражению для $v_x$ из пункта в), знак $v_x$ определяется знаком числителя, так как знаменатель $(m_1 + m_2)$ всегда положителен. Следовательно, $v_x > 0$. Это означает, что скорость образовавшегося тела будет направлена в ту же сторону, куда была направлена ось $\text{x}$, то есть в сторону первоначального движения первого шара.

Ответ: Скорость образовавшегося тела направлена в ту же сторону, что и начальная скорость первого шара (шара с большим по модулю начальным импульсом).