Номер 12, страница 123, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 12, страница 123.

Условие.

12. Докажите, что проекция суммарного импульса тележки и груза на вертикально направленную ось y не сохраняется.

Решение.

Решение

Закон сохранения импульса гласит, что полный импульс замкнутой системы тел (т. е. системы, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю) остается постоянным. Чтобы сохранялась проекция импульса системы на какую-либо ось, необходимо, чтобы сумма проекций внешних сил на эту ось была равна нулю.

Рассмотрим систему тел «тележка + груз». Пусть ось $\text{y}$ направлена вертикально вверх. На данную систему в вертикальном направлении действуют следующие внешние силы:
1. Сила тяжести, равная сумме сил тяжести тележки ($M\vec{g}$) и груза ($m\vec{g}$): $\vec{F}_g = (M+m)\vec{g}$. Её проекция на ось $\text{y}$ равна $F_{g,y} = -(M+m)g$.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, с которой опора действует на тележку. Её проекция на ось $\text{y}$ равна $N_y = N$.

Сумма проекций внешних сил на вертикальную ось $\text{y}$ составляет:
$F_{ext, y} = N - (M+m)g$.

Согласно второму закону Ньютона для системы тел, изменение проекции суммарного импульса системы $P_y$ определяется импульсом равнодействующей внешних сил в проекции на эту же ось:
$\Delta P_y = F_{ext, y} \cdot \Delta t$.

Проекция импульса на ось $\text{y}$ будет сохраняться ($\Delta P_y = 0$) только в том случае, если $F_{ext, y} = 0$, то есть если сила нормальной реакции опоры в любой момент времени уравновешивает суммарную силу тяжести: $N = (M+m)g$.

Однако при взаимодействии тележки и груза (например, при падении груза на тележку) это условие не выполняется. В момент, предшествующий контакту, груз обладает некоторой вертикальной скоростью $v_y$, а тележка покоится в вертикальном направлении. Начальный импульс системы в проекции на ось $\text{y}$ равен $P_{y,1} = m v_y$. После того как груз остановится на тележке, их общая вертикальная скорость станет равной нулю. Конечный импульс системы $P_{y,2} = (M+m) \cdot 0 = 0$.

Поскольку $v_y \neq 0$, то $P_{y,1} \neq P_{y,2}$, следовательно, изменение импульса $\Delta P_y = P_{y,2} - P_{y,1} = -m v_y \neq 0$. Это напрямую доказывает, что проекция импульса на вертикальную ось не сохраняется.

Причина этого изменения заключается в том, что в момент удара груза о тележку возникает значительная сила взаимодействия, которая передается опоре. В результате сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ на короткое время становится существенно больше суммарной силы тяжести $(M+m)g$. Таким образом, равнодействующая внешних сил в проекции на ось $\text{y}$ $F_{ext, y} = N - (M+m)g$ не равна нулю. Наличие этой ненулевой внешней силы и приводит к изменению вертикальной составляющей импульса системы.

Ответ: Проекция суммарного импульса тележки и груза на вертикально направленную ось $\text{y}$ не сохраняется, так как на систему в вертикальном направлении действует неуравновешенная внешняя сила. Сумма проекций внешних сил (силы тяжести и силы нормальной реакции опоры) на вертикальную ось не равна нулю в процессе взаимодействия тел, поскольку сила нормальной реакции опоры не компенсирует силу тяжести в этот момент.