Номер 11, страница 123, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 11, страница 123.

Условие.

11. Докажите, что скорость тележки после попадания в неё груза выражается формулой $v_{\text{К}} = v_{\text{Н}} \frac{m_{\text{Т}}}{m_{\text{Т}} + m_{\text{Г}}}.$

А сохраняется ли в данном случае векторная сумма импульсов тележки и груза?

Решение.

11. Докажите, что скорость тележки после попадания в неё груза выражается формулой $v_к = v_н \frac{m_т}{m_т + m_г}$

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза, как замкнутую в горизонтальном направлении. Это означает, что в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы (пренебрегаем трением). В этом случае выполняется закон сохранения импульса для проекции на горизонтальную ось.

Введем обозначения:

• $m_т$ – масса тележки;
• $m_г$ – масса груза;
• $v_н$ – начальная скорость тележки;
• $v_к$ – конечная скорость тележки с грузом.

1. Импульс системы до взаимодействия.
До того, как груз упал на тележку, она двигалась со скоростью $v_н$. Ее импульс был равен $p_т = m_т v_н$.
Груз падает вертикально, поэтому его начальная скорость в горизонтальном направлении равна нулю. Его горизонтальный импульс $p_г = m_г \cdot 0 = 0$.
Суммарный импульс системы в проекции на горизонтальную ось до взаимодействия равен: $P_{начальный} = p_т + p_г = m_т v_н + 0 = m_т v_н$.

2. Импульс системы после взаимодействия.
После того, как груз упал на тележку, они стали двигаться вместе как единое целое. Это пример неупругого удара. Их общая масса стала равна $m_т + m_г$, а общая скорость – $v_к$.
Суммарный импульс системы в проекции на горизонтальную ось после взаимодействия равен: $P_{конечный} = (m_т + m_г) v_к$.

3. Применение закона сохранения импульса.
Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия: $P_{начальный} = P_{конечный}$ $m_т v_н = (m_т + m_г) v_к$

Выразим из этого уравнения конечную скорость $v_к$: $v_к = \frac{m_т v_н}{m_т + m_г}$ Что можно записать в виде: $v_к = v_н \frac{m_т}{m_т + m_г}$ Формула доказана.

Ответ: Доказательство основано на применении закона сохранения импульса к системе "тележка-груз" в проекции на горизонтальную ось, так как в этом направлении система является замкнутой.

А сохраняется ли в данном случае векторная сумма импульсов тележки и груза?

Векторная сумма импульсов – это полный импульс системы. Чтобы он сохранялся, система должна быть замкнутой, то есть сумма всех внешних сил, действующих на систему, должна быть равна нулю.

Рассмотрим силы, действующие на систему "тележка-груз" в вертикальном направлении. Это сила тяжести $(m_т + m_г)g$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх. В момент падения груза на тележку происходит неупругий удар, в результате которого вертикальная составляющая скорости груза гасится. Это изменение вертикального импульса груза происходит за счет действия внешних сил (сила реакции опоры, действующая на тележку, в момент удара резко возрастает).

Проанализируем вертикальную составляющую импульса системы:

• До взаимодействия: тележка не имела вертикальной скорости ($p_{т,y} = 0$), а груз имел некоторую вертикальную скорость $v_{г,y}$, направленную вниз. Таким образом, начальный вертикальный импульс системы был направлен вниз и не равен нулю: $P_{начальный,y} = m_г v_{г,y}$.
• После взаимодействия: тележка с грузом движется только горизонтально, их вертикальная скорость равна нулю. Следовательно, конечный вертикальный импульс системы равен нулю: $P_{конечный,y} = 0$.

Поскольку $P_{начальный,y} \neq P_{конечный,y}$, вертикальная составляющая импульса системы не сохраняется. Следовательно, и полная векторная сумма импульсов системы также не сохраняется.

Ответ: Нет, векторная сумма импульсов тележки и груза не сохраняется. Сохраняется только ее горизонтальная проекция, так как в вертикальном направлении система не является замкнутой (сумма внешних сил – силы тяжести и силы нормальной реакции опоры – не равна нулю в момент удара).