Номер 16, страница 125, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 16, страница 125.

Условие.

16. Первая тележка массой 50 кг едет по рельсам со скоростью 2 м/с. Навстречу ей едет вторая тележка массой 100 кг. При столкновении тележки сцепляются. Подберите массу и скорость второй тележки так, чтобы в результате столкновения сцепленные тележки:

а) остановились;

б) двигались в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения;

в) двигались в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения.

Решение.

Дано:

Масса первой тележки: $m_1 = 50 \text{ кг}$

Скорость первой тележки: $v_1 = 2 \text{ м/с}$

Масса второй тележки: $m_2$ (подбираемая величина)

Скорость второй тележки: $v_2$ (подбираемая величина)

Столкновение является абсолютно неупругим, так как тележки сцепляются.

Найти:

Подобрать пары значений массы $m_2$ и скорости $v_2$ второй тележки, при которых после столкновения сцепленные тележки:

а) остановятся;

б) будут двигаться в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения;

в) будут двигаться в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Поскольку внешние силы, действующие на систему из двух тележек в горизонтальном направлении, скомпенсированы, суммарный импульс системы сохраняется.

Выберем ось $Ox$, направленную в сторону движения первой тележки. Тогда проекция ее скорости на эту ось будет положительной ($v_{1x} = v_1 = 2 \text{ м/с}$). Вторая тележка движется навстречу, поэтому проекция ее скорости будет отрицательной ($v_{2x} = -v_2$).

Суммарный импульс системы до столкновения в проекции на ось $Ox$ равен:

$p_x = m_1 v_1 - m_2 v_2$

После столкновения тележки сцепляются и движутся как единое целое с общей скоростью $\text{V}$. Их суммарная масса равна $m_1 + m_2$. Суммарный импульс системы после столкновения:

$p'_x = (m_1 + m_2) V$

По закону сохранения импульса $p_x = p'_x$:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V$

Отсюда можем выразить скорость сцепленных тележек после столкновения:

$V = \frac{m_1 v_1 - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Рассчитаем начальный импульс первой тележки: $p_1 = m_1 v_1 = 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Теперь рассмотрим каждый из требуемых случаев.

а) остановились

Чтобы сцепленные тележки остановились, их конечная скорость $\text{V}$ должна быть равна нулю.

$V = 0 \implies m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \implies m_1 v_1 = m_2 v_2$

Это означает, что модули начальных импульсов тележек должны быть равны. Мы должны подобрать такие $m_2$ и $v_2$, чтобы их произведение было равно импульсу первой тележки:

$m_2 v_2 = 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Существует бесконечное множество пар ($m_2, v_2$), удовлетворяющих этому условию. Например, если взять массу второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$ (как упомянуто в условии), то ее скорость должна быть:

$v_2 = \frac{100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{100 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: Для того чтобы тележки остановились, их начальные импульсы должны быть равны по модулю ($m_1 v_1 = m_2 v_2$). Например, при массе второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$ ее скорость должна быть $v_2 = 1 \text{ м/с}$.

б) двигались в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения

Чтобы сцепленные тележки двигались в ту же сторону, что и первая (в положительном направлении оси $Ox$), их конечная скорость $\text{V}$ должна быть положительной ($V > 0$).

$V > 0 \implies m_1 v_1 - m_2 v_2 > 0 \implies m_1 v_1 > m_2 v_2$

Это означает, что модуль начального импульса первой тележки должен быть больше модуля начального импульса второй тележки.

$m_2 v_2 < 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Подберем подходящую пару ($m_2, v_2$). Например, если взять массу второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$, то ее скорость должна удовлетворять условию:

$100 \text{ кг} \cdot v_2 < 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \implies v_2 < 1 \text{ м/с}$

Например, можно взять $v_2 = 0.5 \text{ м/с}$.

Ответ: Для того чтобы тележки двигались в сторону первой, модуль импульса первой тележки должен быть больше модуля импульса второй ($m_1 v_1 > m_2 v_2$). Например, при массе второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$ ее скорость должна быть меньше $1 \text{ м/с}$ (например, $v_2 = 0.5 \text{ м/с}$).

в) двигались в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения

Чтобы сцепленные тележки двигались в ту же сторону, что и вторая (в отрицательном направлении оси $Ox$), их конечная скорость $\text{V}$ должна быть отрицательной ($V < 0$).

$V < 0 \implies m_1 v_1 - m_2 v_2 < 0 \implies m_1 v_1 < m_2 v_2$

Это означает, что модуль начального импульса второй тележки должен быть больше модуля начального импульса первой тележки.

$m_2 v_2 > 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Подберем подходящую пару ($m_2, v_2$). Например, если взять массу второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$, то ее скорость должна удовлетворять условию:

$100 \text{ кг} \cdot v_2 > 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \implies v_2 > 1 \text{ м/с}$

Например, можно взять $v_2 = 2 \text{ м/с}$.

Ответ: Для того чтобы тележки двигались в сторону второй, модуль импульса второй тележки должен быть больше модуля импульса первой ($m_2 v_2 > m_1 v_1$). Например, при массе второй тележки $m_2 = 100 \text{ кг}$ ее скорость должна быть больше $1 \text{ м/с}$ (например, $v_2 = 2 \text{ м/с}$).