Номер 10, страница 133, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 10, страница 133.

Условие.

10. Из сопла покоящейся на старте ракеты массой $\text{600 кг}$ вылетают одной порцией продукты сгорания топлива массой $\text{15 кг}$ со скоростью $\text{2 км/с}$ относительно земли, направленной вертикально вниз. До какой высоты поднялась бы ракета, если бы сопротивлением воздуха можно было пренебречь?

Решение.

Дано:

$M = 600$ кг (масса ракеты с топливом)

$m_г = 15$ кг (масса продуктов сгорания)

$v_г = 2$ км/с (скорость продуктов сгорания)

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$v_г = 2 \text{ км/с} = 2 \cdot 1000 \text{ м/с} = 2000$ м/с

Найти:

$\text{h}$ — ?

Решение:

Данную задачу можно решить в два этапа. Сначала, используя закон сохранения импульса, найдем начальную скорость ракеты сразу после выброса продуктов сгорания. Затем, используя закон сохранения энергии (или формулы кинематики), определим максимальную высоту подъема.

1. Применим закон сохранения импульса для системы «ракета + продукты сгорания». До старта система покоилась, поэтому ее суммарный импульс был равен нулю. После выброса газов, согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы также должен остаться равным нулю. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх.

Импульс системы до взаимодействия: $p_0 = 0$.

Масса ракеты после выброса топлива: $m_р = M - m_г = 600 \text{ кг} - 15 \text{ кг} = 585$ кг.

Импульс системы после взаимодействия в проекции на ось OY: $p = m_р v_р - m_г v_г$, где $v_р$ — скорость ракеты.

Из закона сохранения импульса $p_0 = p$:

$0 = m_р v_р - m_г v_г$

Отсюда выражаем скорость ракеты:

$m_р v_р = m_г v_г$

$v_р = \frac{m_г v_г}{m_р}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \frac{15 \text{ кг} \cdot 2000 \text{ м/с}}{585 \text{ кг}} = \frac{30000}{585} \text{ м/с} \approx 51,28$ м/с

2. Теперь найдем высоту, на которую поднимется ракета, имея начальную скорость $v_р$. Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, движение ракеты после старта происходит только под действием силы тяжести. Можно применить закон сохранения механической энергии: кинетическая энергия ракеты в момент старта переходит в ее потенциальную энергию на максимальной высоте.

Кинетическая энергия в начале подъема: $E_к = \frac{m_р v_р^2}{2}$

Потенциальная энергия на максимальной высоте $\text{h}$: $E_п = m_р g h$

Приравниваем энергии $E_к = E_п$:

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

Сокращаем массу ракеты $m_р$ и выражаем высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_р^2}{2g}$

Подставляем полученное значение скорости ракеты:

$h = \frac{(51,28 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с²}} \approx \frac{2629,6 \text{ м²/с²}}{19,6 \text{ м/с²}} \approx 134,2$ м

Ответ: ракета поднялась бы на высоту примерно 134,2 м.