Номер 13, страница 133, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 13, страница 133.

Условие.

13. Модель ракеты массой 250 г взлетает вертикально вверх на высоту 500 м, выбросив порцию газа массой 50 г. Чему равна скорость газа относительно ракеты? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано

Начальная масса модели ракеты, $M = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$

Масса выброшенного газа, $m_g = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Высота подъема ракеты, $h = 500 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (принимаем для упрощения расчетов)

Найти:

$\text{u}$ — скорость газа относительно ракеты.

Решение

Решение задачи состоит из двух основных частей. Сначала мы определим начальную скорость, которую ракета получила сразу после выброса газа, используя закон сохранения энергии. Затем, применив закон сохранения импульса к системе "ракета-газ", мы найдем искомую относительную скорость газа.

1. Определение начальной скорости ракеты ($v_r$).

После выброса порции газа масса самой ракеты составит:

$m_r = M - m_g = 0.25 \text{ кг} - 0.05 \text{ кг} = 0.20 \text{ кг}$

Ракета взлетает на высоту $\text{h}$, это означает, что ее начальная кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте (сопротивлением воздуха пренебрегаем). По закону сохранения механической энергии:

$\frac{m_r v_r^2}{2} = m_r g h$

Сократив массу ракеты $m_r$, выразим ее начальную скорость $v_r$:

$v_r = \sqrt{2gh}$

Подставим известные значения:

$v_r = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 500 \text{ м}} = \sqrt{10000 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 100 \text{ м/с}$

2. Определение скорости газа относительно ракеты ($\text{u}$).

Систему "ракета + газ" можно считать замкнутой в момент выброса газа, поэтому для нее выполняется закон сохранения импульса. До старта суммарный импульс системы равен нулю. Следовательно, и после выброса газа суммарный импульс должен остаться равным нулю.

$P_{до} = P_{после} = 0$

Направим ось координат вертикально вверх. Импульс ракеты после старта равен $m_r v_r$. Импульс газа равен $m_g v_g$, где $v_g$ — скорость газа относительно земли. Закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось:

$m_r v_r + m_g v_g = 0$

Скорость газа относительно земли $v_g$ связана со скоростью ракеты $v_r$ и скоростью газа относительно ракеты $\text{u}$ (искомой величиной) следующим образом: $\vec{v_g} = \vec{v_r} + \vec{u}$. Поскольку газ выбрасывается в направлении, противоположном движению ракеты, в проекциях на нашу ось это уравнение примет вид $v_g = v_r - u$.

Подставим это выражение в закон сохранения импульса:

$m_r v_r + m_g (v_r - u) = 0$

$m_r v_r + m_g v_r - m_g u = 0$

$(m_r + m_g) v_r = m_g u$

Сумма $(m_r + m_g)$ равна начальной массе ракеты $\text{M}$.

$M v_r = m_g u$

Отсюда выражаем искомую скорость $\text{u}$:

$u = \frac{M \cdot v_r}{m_g}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{0.25 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м/с}}{0.05 \text{ кг}} = \frac{25}{0.05} \text{ м/с} = 500 \text{ м/с}$

Ответ: скорость газа относительно ракеты равна 500 м/с.