Номер 2, страница 130, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 2, страница 130.

Условие.

2. Из сопла двигателя ракеты вылетает $20 \text{ кг}$ газа со скоростью $5 \text{ км/с}$ относительно ракеты. Масса ракеты $10 \text{ т}$. Примите, что изменением массы ракеты при вылете газа можно пренебречь. Выберем инерциальную систему отсчёта, относительно которой ракета в начальный момент покоится.

а) Чему равен импульс газа, вылетевшего из сопла двигателя?

б) Чему равно изменение импульса ракеты?

в) Какую скорость приобретёт ракета в выбранной системе отсчёта?

Решение.

Дано:

$m_г = 20 \text{ кг}$

$v_{отн} = 5 \text{ км/с}$

$M_р = 10 \text{ т}$

$v_{р,0} = 0 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$v_{отн} = 5 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

$M_р = 10 \cdot 10^3 \text{ кг} = 10^4 \text{ кг}$

Найти:

а) $p_г$ - ?

б) $\Delta p_р$ - ?

в) $v_р$ - ?

Решение:

а) Чему равен импульс газа, вылетевшего из сопла двигателя?

Импульс газа $p_г$ в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО) равен произведению массы газа $m_г$ на его скорость $v_г$ в этой системе: $p_г = m_г \cdot v_г$. Скорость газа в ИСО связана со скоростью ракеты $v_р$ и скоростью истечения газа относительно ракеты $v_{отн}$ соотношением $\vec{v}_г = \vec{v}_р + \vec{v}_{отн}$.

Поскольку масса выброшенного газа $m_г$ значительно меньше массы ракеты $M_р$ ($20 \text{ кг} \ll 10000 \text{ кг}$), то скорость, которую приобретает ракета, будет много меньше скорости истечения газов. Поэтому скоростью ракеты $v_р$ можно пренебречь по сравнению со скоростью газа $v_{отн}$. Таким образом, скорость газа в ИСО приблизительно равна его скорости относительно ракеты: $v_г \approx v_{отн}$.

Тогда модуль импульса газа можно рассчитать по формуле:

$p_г \approx m_г \cdot v_{отн}$

$p_г = 20 \text{ кг} \cdot 5 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 100 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Этот импульс направлен в сторону, противоположную движению ракеты.

Ответ: $10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

б) Чему равно изменение импульса ракеты?

Рассмотрим систему «ракета + газ». Внешние силы на систему не действуют (или их действие скомпенсировано), поэтому система является замкнутой. Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса. До вылета газа ракета покоилась, поэтому начальный импульс системы был равен нулю.

После вылета газа полный импульс системы равен векторной сумме импульса ракеты $p_р$ и импульса газа $p_г$. По закону сохранения импульса:

$0 = \vec{p}_р + \vec{p}_г \implies \vec{p}_р = -\vec{p}_г$

Изменение импульса ракеты $\Delta p_р$ равно её конечному импульсу $p_р$, так как начальный импульс ракеты был равен нулю: $\Delta \vec{p}_р = \vec{p}_р - 0 = \vec{p}_р$.

Следовательно, $\Delta \vec{p}_р = -\vec{p}_г$.

Это означает, что изменение импульса ракеты равно по модулю импульсу газа и направлено в противоположную сторону.

$|\Delta p_р| = |p_г| = 10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: $10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

в) Какую скорость приобретёт ракета в выбранной системе отсчёта?

Изменение импульса ракеты определяется как $\Delta p_р = M_р \cdot v_р$, где $v_р$ - приобретённая ракетой скорость (поскольку начальная скорость равна нулю), а $M_р$ - масса ракеты. Из условия задачи мы пренебрегаем изменением массы ракеты.

Отсюда можем выразить скорость ракеты:

$v_р = \frac{\Delta p_р}{M_р}$

Подставим числовые значения из предыдущего пункта и из условия:

$v_р = \frac{10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{10^4 \text{ кг}} = 10 \text{ м/с}$.

Ответ: $10 \text{ м/с}$.