Номер 39, страница 128, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 39, страница 128.

Условие.

39. Снаряд, вылетевший из пушки вертикально вверх со скоростью 300 м/с, через полминуты полёта разорвался на два осколка равной массы. Скорости обоих осколков были направлены вертикально. Один из них упал на землю со скоростью 400 м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

$v_0 = 300$ м/с

$t = 0,5$ мин

$m_1 = m_2 = m$ (массы осколков равны)

$v_{f1} = 400$ м/с

$g \approx 10$ м/с²

$t = 0,5 \cdot 60 \text{ с} = 30$ с

Найти:

$v_{f2}$ - ?

Решение:

1. Определим скорость и высоту снаряда в момент разрыва. Движение снаряда до разрыва — это движение тела, брошенного вертикально вверх, то есть равнозамедленное движение. Направим ось OY вертикально вверх.

Скорость снаряда через время $\text{t}$ после вылета определяется по формуле:

$v = v_0 - gt$

Подставим числовые значения:

$v = 300 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}^2 \cdot 30 \text{ с} = 300 - 300 = 0 \text{ м/с}$

Скорость снаряда в момент разрыва равна нулю. Это означает, что разрыв произошел в верхней точке траектории полета.

Найдем высоту, на которой произошел разрыв:

$h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

$h = 300 \text{ м/с} \cdot 30 \text{ с} - \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (30 \text{ с})^2}{2} = 9000 - 5 \cdot 900 = 4500 \text{ м}$

2. Применим закон сохранения импульса к моменту разрыва снаряда. Масса снаряда до разрыва $M = m_1 + m_2 = 2m$.

Импульс системы до разрыва: $P_{до} = Mv = 2m \cdot 0 = 0$.

Импульс системы после разрыва: $P_{после} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m v_1 + m v_2$, где $v_1$ и $v_2$ — скорости осколков сразу после разрыва.

Согласно закону сохранения импульса, $P_{до} = P_{после}$:

$0 = m v_1 + m v_2$

Отсюда следует, что $v_1 = -v_2$. Это означает, что осколки разлетелись в противоположные стороны с одинаковыми по модулю скоростями. Один осколок полетел вверх, а другой — вниз.

3. Теперь рассмотрим движение каждого осколка от точки разрыва до земли с помощью закона сохранения энергии. Для любого из осколков полная механическая энергия в момент разрыва (на высоте $\text{h}$) равна его полной механической энергии в момент падения на землю.

Энергия в момент разрыва: $E_{начальная} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная} = \frac{mv^2_{оск}}{2} + mgh$, где $v_{оск}$ — начальная скорость осколка.

Энергия в момент падения на землю: $E_{конечная} = \frac{mv^2_{f}}{2}$, где $v_f$ — скорость осколка у земли.

Приравнивая энергии, получаем: $\frac{mv^2_{оск}}{2} + mgh = \frac{mv^2_{f}}{2}$.

Сократив на массу $\text{m}$, получим: $v^2_f = v^2_{оск} + 2gh$.

Эта формула связывает начальную скорость осколка после разрыва и его конечную скорость у земли.

Как мы выяснили из закона сохранения импульса, модули начальных скоростей осколков равны: $|v_1| = |v_2|$. Следовательно, их квадраты также равны: $v_1^2 = v_2^2$.

Применим формулу для конечной скорости к обоим осколкам:

Для первого осколка: $v_{f1}^2 = v_1^2 + 2gh$

Для второго осколка: $v_{f2}^2 = v_2^2 + 2gh$

Так как правые части этих уравнений равны ($v_1^2 = v_2^2$), то равны и левые части:

$v_{f1}^2 = v_{f2}^2$

Следовательно, $|v_{f1}| = |v_{f2}|$.

Поскольку скорость первого осколка при падении на землю равна 400 м/с, то и скорость второго осколка будет такой же.

$v_{f2} = v_{f1} = 400$ м/с.

Ответ: 400 м/с.