Номер 35, страница 127, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 35, страница 127.

Условие.

35. Изобразите график зависимости от времени модуля импульса шара, брошенного вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная скорость шара $v_0 = 10$ м/с.

Ускорение свободного падения принимаем равным $g \approx 10$ м/с².

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Найти:

График зависимости модуля импульса от времени $p(t)$.

Решение:

Импульс тела (материальной точки) определяется по формуле $ \vec{p} = m \vec{v} $, где $\text{m}$ – масса тела, а $ \vec{v} $ – его скорость. Требуется изобразить график зависимости модуля импульса $ p = | \vec{p} | $ от времени $\text{t}$.

Поскольку масса шара $\text{m}$ является положительной и постоянной величиной, модуль импульса равен произведению массы на модуль скорости: $ p(t) = m \cdot |v(t)| $, где $|v(t)|$ – модуль скорости шара в момент времени $\text{t}$.

Движение шара, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчета в точку броска. В этом случае проекция начальной скорости на эту ось $v_{0y} = v_0 = 10$ м/с, а проекция ускорения свободного падения $g_y = -g \approx -10$ м/с².

Зависимость проекции скорости от времени описывается уравнением:

$ v_y(t) = v_{0y} + g_y t = v_0 - gt $.

Подставив числовые значения, получим:

$ v_y(t) = 10 - 10t $.

Теперь найдем зависимость модуля импульса от времени:

$ p(t) = m \cdot |v_y(t)| = m |10 - 10t| $.

Проанализируем это выражение на двух участках движения:

1. Подъем шара. Шар движется вверх, пока его скорость не станет равной нулю. Найдем время подъема $t_1$ до наивысшей точки из условия $v_y(t_1) = 0$:

$ 10 - 10t_1 = 0 \implies t_1 = 1 $ с.

На интервале времени $ 0 \le t \le 1 $ с, проекция скорости $v_y(t)$ неотрицательна ($ 10 - 10t \ge 0 $). Следовательно, $|10 - 10t| = 10 - 10t$.
Тогда модуль импульса на этом участке: $ p(t) = m(10 - 10t) $.
Это линейная функция. В начальный момент времени $ t=0 $, $ p(0) = 10m $. В момент достижения наивысшей точки $ t=1 $ с, $ p(1) = 0 $.

2. Падение шара. При $ t > 1 $ с, шар начинает падать вниз, и его скорость (проекция на ось OY) становится отрицательной ($ 10 - 10t < 0 $).
Следовательно, $|10 - 10t| = -(10 - 10t) = 10t - 10$.
Тогда модуль импульса на этом участке: $ p(t) = m(10t - 10) $.
Это также линейная функция. В момент $ t=1 $ с, $ p(1) = 0 $. Далее модуль импульса линейно возрастает. Например, в момент $ t=2 $ с (когда шар вернется в точку броска), модуль скорости будет равен начальной, $ |v_y(2)| = |10 - 10 \cdot 2| = |-10| = 10 $ м/с, а модуль импульса $ p(2) = m \cdot 10 = 10m $.

Таким образом, график зависимости $p(t)$ состоит из двух прямолинейных участков:

- На участке от $t=0$ до $t=1$ с график представляет собой отрезок прямой, идущий из точки $(0, 10m)$ в точку $(1, 0)$.

- На участке $t > 1$ с график представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 0)$ с положительным наклоном.

График имеет V-образную форму.

Ответ:

График зависимости модуля импульса шара от времени $p(t)$ представляет собой ломаную линию V-образной формы. По оси ординат откладывается модуль импульса $\text{p}$ (в кг⋅м/с), по оси абсцисс – время $\text{t}$ (в с).
1. График начинается в точке с координатами $(0; 10m)$, где $\text{m}$ – масса шара. Это начальное значение модуля импульса.
2. В течение первой секунды ($0 \le t \le 1$ с) модуль импульса линейно уменьшается до нуля. Этот участок представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(0; 10m)$ и точку $(1; 0)$. В момент времени $t=1$ с шар достигает максимальной высоты, его скорость и, следовательно, импульс равны нулю.
3. При $t > 1$ с модуль импульса линейно возрастает от нуля. Этот участок представляет собой луч, выходящий из точки $(1; 0)$ и идущий вверх и вправо. Например, в момент $t=2$ с модуль импульса снова станет равным $10m$.
Вершина (излом) графика находится в точке $(1; 0)$.