Номер 28, страница 127, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 28, страница 127.

Условие.

28. Свинцовый и алюминиевый шарики движутся навстречу друг другу и после абсолютно неупругого столкновения останавливаются. Радиус алюминиевого шарика в 2 раза больше радиуса свинцового шарика. Скорость какого шарика перед ударом была больше? Во сколько раз?

Решение.

Дано

Свинцовый шарик (индекс "с")

Алюминиевый шарик (индекс "а")

Столкновение абсолютно неупругое.

Шарики движутся навстречу друг другу.

Конечная скорость после столкновения: $v_к = 0 \text{ м/с}$

Соотношение радиусов: $R_а = 2 R_с$

Плотность свинца (справочное значение): $\rho_с = 11340 \text{ кг/м}^3$

Плотность алюминия (справочное значение): $\rho_а = 2700 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Отношение скоростей шариков перед столкновением $\frac{v_с}{v_а}$ или $\frac{v_а}{v_с}$

Решение

Поскольку столкновение является абсолютно неупругим и после него шарики останавливаются, мы можем применить закон сохранения импульса для системы из двух шариков. Так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а силы сопротивления пренебрежимо малы, систему можно считать замкнутой.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль начальной скорости свинцового шарика. Скорость алюминиевого шарика будет иметь отрицательную проекцию, так как он движется навстречу.

$m_с v_с - m_а v_а = (m_с + m_а) v_к$

По условию, после столкновения шарики останавливаются, то есть их конечная скорость $v_к = 0$.

$m_с v_с - m_а v_а = 0$

Отсюда следует, что модули импульсов шариков до столкновения были равны:

$m_с v_с = m_а v_а$

Выразим массы шариков через их плотности и объемы. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

$m_с = \rho_с V_с = \rho_с \frac{4}{3}\pi R_с^3$

$m_а = \rho_а V_а = \rho_а \frac{4}{3}\pi R_а^3$

Подставим выражения для масс в уравнение равенства импульсов:

$\rho_с \frac{4}{3}\pi R_с^3 \cdot v_с = \rho_а \frac{4}{3}\pi R_а^3 \cdot v_а$

Сократим общий множитель $\frac{4}{3}\pi$:

$\rho_с R_с^3 v_с = \rho_а R_а^3 v_а$

Используем заданное в условии соотношение радиусов $R_а = 2 R_с$:

$\rho_с R_с^3 v_с = \rho_а (2 R_с)^3 v_а$

$\rho_с R_с^3 v_с = \rho_а \cdot 8 R_с^3 \cdot v_а$

Сократим $R_с^3$:

$\rho_с v_с = 8 \rho_а v_а$

Теперь найдем отношение скоростей:

$\frac{v_с}{v_а} = \frac{8 \rho_а}{\rho_с}$

Подставим табличные значения плотностей алюминия и свинца:

$\frac{v_с}{v_а} = \frac{8 \cdot 2700 \text{ кг/м}^3}{11340 \text{ кг/м}^3} = \frac{21600}{11340} \approx 1.905$

Полученное отношение больше единицы, следовательно, скорость свинцового шарика была больше скорости алюминиевого.

Ответ: Скорость свинцового шарика перед ударом была больше скорости алюминиевого шарика примерно в 1,9 раза.