Номер 49, страница 24, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Квантовая физика. Глава VI. Атомное ядро и ядерная энергетика. Параграф 25. Атомное ядро - номер 49, страница 24.

Условие.

49. Пусть $N_0$ — число радиоактивных атомов в начальный момент времени. Сколько радиоактивных ядер распадётся за время, равное двум периодам полураспада? трём периодам полураспада?

Решение.

Дано:

$N_0$ — начальное число радиоактивных атомов

$\text{T}$ — период полураспада

$t_1 = 2T$

$t_2 = 3T$

Найти:

$\Delta N_1$ — число распавшихся ядер за время $t_1$

$\Delta N_2$ — число распавшихся ядер за время $t_2$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся ядер $\text{N}$ в момент времени $\text{t}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $\text{T}$ — период полураспада.

Число распавшихся ядер $\Delta N$ за время $\text{t}$ можно найти как разность между начальным числом ядер и числом нераспавшихся ядер в момент времени $\text{t}$:

$\Delta N(t) = N_0 - N(t)$

За время, равное двум периодам полураспада

Время распада $t_1 = 2T$.

1. Найдем количество нераспавшихся ядер через два периода полураспада:

$N(t_1) = N_0 \cdot 2^{-t_1/T} = N_0 \cdot 2^{-2T/T} = N_0 \cdot 2^{-2} = \frac{N_0}{4}$

Также можно рассуждать по определению периода полураспада: через один период полураспада останется $\frac{N_0}{2}$ ядер. Через еще один период полураспада останется половина от этого количества, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{N_0}{2} = \frac{N_0}{4}$.

2. Найдем количество распавшихся ядер:

$\Delta N_1 = N_0 - N(t_1) = N_0 - \frac{N_0}{4} = \frac{3}{4}N_0$

Ответ: За время, равное двум периодам полураспада, распадётся $\frac{3}{4}$ от начального числа радиоактивных ядер ($ \frac{3}{4}N_0 $).

За время, равное трём периодам полураспада

Время распада $t_2 = 3T$.

1. Найдем количество нераспавшихся ядер через три периода полураспада:

$N(t_2) = N_0 \cdot 2^{-t_2/T} = N_0 \cdot 2^{-3T/T} = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8}$

Рассуждая по определению: через один период останется $\frac{N_0}{2}$, через два — $\frac{N_0}{4}$, а через три — половина от предыдущего значения, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{N_0}{4} = \frac{N_0}{8}$.

2. Найдем количество распавшихся ядер:

$\Delta N_2 = N_0 - N(t_2) = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7}{8}N_0$

Ответ: За время, равное трём периодам полураспада, распадётся $\frac{7}{8}$ от начального числа радиоактивных ядер ($ \frac{7}{8}N_0 $).