Номер 219, страница 105, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 6. Электромагнитные явления - номер 219, страница 105.

Условие.

219. Какой из двух алюминиевых проводов одинаковой массы имеет большее сопротивление и во сколько раз большее, если диаметр первого провода в 2 раза больше диаметра второго?

Решение.

Дано:

Два алюминиевых провода
$m_1 = m_2 = m$ (массы одинаковы)
$\rho_1 = \rho_2 = \rho$ (удельное сопротивление одинаково, так как материал один и тот же)
$\delta_1 = \delta_2 = \delta$ (плотность одинакова)
$d_1 = 2d_2$ (диаметр первого провода в 2 раза больше диаметра второго)

Найти:

Какой провод имеет большее сопротивление и во сколько раз? Найти отношение сопротивлений.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ - удельное сопротивление материала, $\text{l}$ - длина проводника, $\text{S}$ - площадь поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для первого и второго проводов: $R_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}$
$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2}$

Масса провода выражается через его объем $\text{V}$ и плотность материала $\delta$: $m = \delta \cdot V = \delta \cdot l \cdot S$

Поскольку массы проводов по условию равны ($m_1 = m_2$), мы можем записать: $\delta \cdot l_1 \cdot S_1 = \delta \cdot l_2 \cdot S_2$ $l_1 \cdot S_1 = l_2 \cdot S_2$ Из этого равенства можно выразить отношение длин проводов через отношение их площадей поперечного сечения: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{S_1}{S_2}$

Площадь поперечного сечения круглого провода связана с его диаметром $\text{d}$ формулой: $S = \frac{\pi d^2}{4}$ Найдем отношение площадей сечений проводов, зная, что $d_1 = 2d_2$: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi d_1^2 / 4}{\pi d_2^2 / 4} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{d_1}{d_2})^2 = (2)^2 = 4$ Следовательно, площадь сечения первого провода в 4 раза больше площади сечения второго ($S_1 = 4S_2$).

Теперь, зная отношение площадей, мы можем найти отношение длин проводов: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{S_1}{S_2} = 4$ Это означает, что второй, более тонкий, провод в 4 раза длиннее первого, чтобы их массы были одинаковы.

Наконец, найдем искомое отношение сопротивлений двух проводов: $\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{S_2}}{\rho \frac{l_1}{S_1}} = \frac{l_2}{S_2} \cdot \frac{S_1}{l_1} = (\frac{l_2}{l_1}) \cdot (\frac{S_1}{S_2})$ Подставим найденные ранее значения отношений: $\frac{R_2}{R_1} = 4 \cdot 4 = 16$

Из полученного соотношения $R_2 = 16R_1$ следует, что сопротивление второго провода (с меньшим диаметром) в 16 раз больше сопротивления первого провода.

Ответ: Сопротивление второго провода, диаметр которого меньше, больше в 16 раз.