Номер 225, страница 106, часть 2 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Материалы для повторения при подготовке к экзамену. 6. Электромагнитные явления - номер 225, страница 106.

Условие.

225. При последовательном включении двух проводников мощность тока в цепи равна 4 Вт, а при параллельном — 18 Вт. Чему будет равна мощность тока, если проводники включать в цепь по одному?

Решение.

Дано:

$P_{посл} = 4$ Вт

$P_{парал} = 18$ Вт

Найти:

$P_1, P_2$ - ?

Решение:

Пусть сопротивления двух проводников равны $R_1$ и $R_2$, а напряжение источника тока, к которому они подключаются, равно $\text{U}$. Будем считать напряжение источника постоянным.

Мощность тока, выделяемая на проводнике с сопротивлением $\text{R}$ при напряжении $\text{U}$, определяется формулой $P = \frac{U^2}{R}$.

Обозначим мощности, выделяемые на каждом проводнике при их отдельном включении в цепь, как $P_1$ и $P_2$.

$P_1 = \frac{U^2}{R_1}$

$P_2 = \frac{U^2}{R_2}$

Из этих выражений можно выразить сопротивления через мощности:

$R_1 = \frac{U^2}{P_1}$

$R_2 = \frac{U^2}{P_2}$

Рассмотрим два случая, описанные в задаче.

При последовательном включении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений проводников $R_{посл} = R_1 + R_2$. Мощность тока в цепи при последовательном включении $P_{посл}$ равна:

$P_{посл} = \frac{U^2}{R_{посл}} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$

По условию $P_{посл} = 4$ Вт. Выразим это уравнение через $P_1$ и $P_2$. Для этого преобразуем выражение для мощности:

$\frac{1}{P_{посл}} = \frac{R_1 + R_2}{U^2} = \frac{R_1}{U^2} + \frac{R_2}{U^2}$

Так как $\frac{R_1}{U^2} = \frac{1}{P_1}$ и $\frac{R_2}{U^2} = \frac{1}{P_2}$, получаем первое уравнение:

$\frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} = \frac{1}{P_{посл}} = \frac{1}{4}$

При параллельном включении напряжение на каждом проводнике равно напряжению источника $\text{U}$. Общая мощность в цепи равна сумме мощностей, выделяемых на каждом проводнике:

$P_{парал} = P_1 + P_2$

По условию $P_{парал} = 18$ Вт. Получаем второе уравнение:

$P_1 + P_2 = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $P_1$ и $P_2$:

$$ \begin{cases} \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} = \frac{1}{4} \\ P_1 + P_2 = 18 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{P_2 + P_1}{P_1 P_2} = \frac{1}{4}$

Подставим в него значение $P_1 + P_2 = 18$ из второго уравнения:

$\frac{18}{P_1 P_2} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим произведение мощностей:

$P_1 P_2 = 18 \cdot 4 = 72$

Теперь система уравнений выглядит так:

$$ \begin{cases} P_1 + P_2 = 18 \\ P_1 P_2 = 72 \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $P_1$ и $P_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (P_1 + P_2)x + P_1 P_2 = 0$.

$x^2 - 18x + 72 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{18 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{18 + 6}{2} = 12$

$x_2 = \frac{18 - 6}{2} = 6$

Таким образом, мощности проводников при их отдельном включении в цепь равны 6 Вт и 12 Вт.

Ответ: Мощности тока при включении проводников в цепь по одному равны 6 Вт и 12 Вт.