Номер 10, страница 36, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения - номер 10, страница 36.

Условие.

10. Точечный источник света движется в воде вертикально вниз со скоростью, модуль которой $v = 1$ м/с. При этом радиус круга, из которого свет от источника можно наблюдать с поверхности воды, увеличивается. Определите, с какой скоростью увеличивается радиус этого круга (светового пятна) на поверхности воды. Относительный показатель преломления воды считайте равным $n = 1,3$.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Скорость источника света, $v = 1 \text{ м/с}$

Относительный показатель преломления воды, $n = 1,3$

Найти:

Скорость увеличения радиуса светового пятна, $u$

Решение:

Свет от точечного источника, находящегося в воде (оптически более плотной среде), может выйти в воздух (оптически менее плотную среду) только в том случае, если угол падения луча на границу раздела вода-воздух меньше или равен предельному (критическому) углу полного внутреннего отражения $\alpha_{пр}$. Лучи, падающие под углами, большими предельного, полностью отражаются обратно в воду. Таким образом, на поверхности воды наблюдается светящийся круг, граница которого соответствует лучам, выходящим под углом $90^\circ$ к нормали, то есть падающим на границу под предельным углом $\alpha_{пр}$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса), для предельного угла падения $\alpha_{пр}$ угол преломления равен $90^\circ$:

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = n_{воздуха} \cdot \sin(90^\circ)$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$, получаем выражение для синуса предельного угла:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть в некоторый момент времени источник находится на глубине $h$ под поверхностью воды. Радиус $R$ светового пятна на поверхности, глубина источника $h$ и луч света, идущий к краю пятна, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катет, противолежащий углу $\alpha_{пр}$, равен $R$, а прилежащий катет равен $h$. Следовательно:

$\text{tg}(\alpha_{пр}) = \frac{R}{h}$

Отсюда можно выразить радиус светового пятна:

$R = h \cdot \text{tg}(\alpha_{пр})$

Так как источник движется вертикально вниз с постоянной скоростью $v$, его глубина $h$ является функцией времени: $h(t) = v \cdot t$ (если считать, что в $t=0$ источник был на поверхности). Скорость изменения глубины равна скорости источника: $\frac{dh}{dt} = v$.

Скорость увеличения радиуса светового пятна $u$ есть производная от радиуса по времени: $u = \frac{dR}{dt}$.

$u = \frac{d}{dt}(h \cdot \text{tg}(\alpha_{пр}))$

Поскольку показатель преломления $n$ является константой, предельный угол $\alpha_{пр}$ и его тангенс $\text{tg}(\alpha_{пр})$ также являются постоянными величинами. Поэтому при дифференцировании $\text{tg}(\alpha_{пр})$ можно вынести за знак производной:

$u = \frac{dh}{dt} \cdot \text{tg}(\alpha_{пр}) = v \cdot \text{tg}(\alpha_{пр})$

Теперь выразим $\text{tg}(\alpha_{пр})$ через известный показатель преломления $n$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем косинус предельного угла:

$\cos(\alpha_{пр}) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha_{пр})} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$

(Мы берем положительное значение корня, так как $\alpha_{пр}$ находится в диапазоне от $0$ до $90^\circ$).

Тангенс предельного угла равен отношению синуса к косинусу:

$\text{tg}(\alpha_{пр}) = \frac{\sin(\alpha_{пр})}{\cos(\alpha_{пр})} = \frac{1/n}{\sqrt{n^2-1}/n} = \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим это выражение в формулу для скорости $u$:

$u = v \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Теперь выполним вычисления, подставив заданные числовые значения:

$u = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1,3^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{1,69 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{0,69}} \approx \frac{1}{0,83066} \approx 1,2038 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя результат до двух значащих цифр (как в значении $n$), получаем:

$u \approx 1,2 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: скорость, с которой увеличивается радиус светового пятна, составляет примерно $1,2 \text{ м/с}$.