Номер 12, страница 36, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения - номер 12, страница 36.

Условие.

12*. Снаружи длинного круглого стержня из оптического стекла вблизи центра его торца находится точечный источник света $\text{S}$ (рис. 36). Определите длину $\text{L}$ области на цилиндрической поверхности стержня, через которую свет от источника может выходить наружу. Радиус стержня равен $\text{R}$, относительный показатель преломления материала стержня — $\text{n}$ ($n > 1$).

Рис. 36

Решение.Ответ:

Решение.

Дано:

Радиус стержня: $R$

Показатель преломления стержня: $n$ ($n>1$)

Найти:

$L$ - длину области на цилиндрической поверхности, через которую свет может выходить наружу.

Решение:

Свет от источника S, попадая в торец стержня, распространяется внутри него. Луч света может выйти наружу через боковую цилиндрическую поверхность только в том случае, если на границе раздела сред "стекло-воздух" не происходит явление полного внутреннего отражения.

Условие выхода света из стержня заключается в том, что угол падения луча $\gamma$ на боковую поверхность должен быть меньше предельного угла полного внутреннего отражения $\theta_c$. То есть, $\gamma < \theta_c$.

Предельный угол $\theta_c$ определяется соотношением:

$\sin \theta_c = \frac{n_{воздуха}}{n_{стержня}} = \frac{1}{n}$

Рассмотрим луч света, который после преломления на торце распространяется внутри стержня под углом $\beta$ к его оси. Нормаль к цилиндрической поверхности в любой точке перпендикулярна оси стержня. Из геометрии следует, что угол падения $\gamma$ этого луча на боковую поверхность связан с углом $\beta$ соотношением:

$\gamma = 90^\circ - \beta$

Граница области, через которую свет может выходить, определяется предельным лучом, для которого угол падения равен предельному углу: $\gamma = \theta_c$. Любой луч, падающий на боковую поверхность на расстоянии, большем чем для этого луча, будет испытывать полное внутреннее отражение.

Для предельного луча имеем:

$90^\circ - \beta = \theta_c$

Возьмем синус от обеих частей равенства:

$\sin(90^\circ - \beta) = \sin \theta_c$

Используя формулу приведения и выражение для синуса предельного угла, получаем:

$\cos \beta = \frac{1}{n}$

Этот предельный луч, вышедший из центра торца, пройдет вдоль оси расстояние $L$ и упадет на боковую поверхность на расстоянии $R$ от оси. Из прямоугольного треугольника, образованного путем луча, осью стержня и радиусом, следует:

$\tan \beta = \frac{R}{L}$

Отсюда искомая длина $L$ равна:

$L = \frac{R}{\tan \beta}$

Найдем $\tan \beta$, зная $\cos \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\tan^2 \beta = \sec^2 \beta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \beta} - 1$:

$\tan^2 \beta = \frac{1}{(1/n)^2} - 1 = n^2 - 1$

Поскольку угол $\beta$ острый, $\tan \beta = \sqrt{n^2 - 1}$.

Подставляя это выражение в формулу для $L$, получаем окончательный результат:

$L = \frac{R}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Ответ: $L = \frac{R}{\sqrt{n^2 - 1}}$