Номер 13, страница 36, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения - номер 13, страница 36.

Условие.

13*. На поверхности озера плавает непрозрачный шар радиусом $R = 1 \text{ м}$, наполовину погружённый в воду. На какой максимальной глубине $\text{H}$ можно поместить под центром шара точечный источник света, чтобы при этом его нельзя было увидеть, находясь над водой? Сделайте поясняющий рисунок.

Решение.

Дано:

Радиус шара, $R = 1$ м

Показатель преломления воды, $n_в = 4/3$ (справочное значение)

Показатель преломления воздуха, $n_{воз} = 1$

Найти:

$H$ — максимальная глубина

Решение:

Для того чтобы точечный источник света был невидим из-под воды, все лучи, исходящие от него и не перекрытые непрозрачным шаром, должны испытывать полное внутреннее отражение на границе раздела вода-воздух.

Рассмотрим предельный случай, когда источник находится на максимальной глубине $H$. В этом случае луч света, который касается края шара, должен падать на поверхность воды под критическим углом полного внутреннего отражения $\alpha_{кр}$.

Поясняющий рисунок:

Представим себе вертикальное сечение системы, проходящее через центр шара $O$ и источник света $S$.

На рисунке:

• $O$ — центр шара, который находится на поверхности воды.
• $S$ — источник света, расположенный на глубине $H$ прямо под центром шара. Расстояние $SO = H$.
• $R$ — радиус шара.
• $ST$ — луч света, касающийся шара в точке $T$. Треугольник $SOT$ является прямоугольным, так как радиус, проведенный в точку касания ($OT$), перпендикулярен касательной ($ST$). Катет $OT = R$.
• $\alpha$ — угол падения луча на поверхность воды. Этот угол равен углу $OST$ в треугольнике $SOT$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых — нормали в точке $O$ и нормали в точке падения луча — и секущей $ST$).

Из прямоугольного треугольника $SOT$ можно выразить синус угла $\alpha$:

$\sin \alpha = \frac{OT}{SO} = \frac{R}{H}$

Условие полного внутреннего отражения на границе вода-воздух определяется законом Снеллиуса:

$n_в \sin \alpha_{кр} = n_{воз} \sin 90^\circ$

Поскольку $n_{воз} = 1$ и $\sin 90^\circ = 1$, получаем выражение для синуса критического угла:

$\sin \alpha_{кр} = \frac{1}{n_в}$

В нашем предельном случае угол падения касательного луча должен быть равен критическому углу: $\alpha = \alpha_{кр}$. Следовательно, их синусы также равны:

$\sin \alpha = \sin \alpha_{кр}$

Приравниваем полученные выражения:

$\frac{R}{H} = \frac{1}{n_в}$

Отсюда находим максимальную глубину $H$:

$H = R \cdot n_в$

Подставим числовые значения:

$H = 1 \text{ м} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \text{ м} \approx 1,33 \text{ м}$

Ответ: Максимальная глубина, на которой можно поместить источник света, составляет $H = \frac{4}{3} \text{ м}$, или приблизительно 1,33 м.