Номер 7, страница 35, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения - номер 7, страница 35.

Условие.

7. Луч света жёлтого цвета переходит из вещества, рассмотренного в предыдущей задаче, в воду. Показатель преломления воды для света жёлтого цвета $n_B = 1,333$. Определите предельный угол $\beta$ полного отражения. Сопоставьте его с углом $\alpha$ из предыдущей задачи и сделайте вывод.

Решение.

Ответ: ___________.

Решение.

Дано:

Показатель преломления воды для жёлтого света $n_в = 1.333$.

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$.

Из предыдущей задачи известен предельный угол полного отражения для некого вещества на границе с воздухом – $\alpha$.

Найти:

Предельный угол полного отражения $\beta$ на границе вещество-вода, сопоставить его с углом $\alpha$ и сделать вывод.

Решение:

Явление полного внутреннего отражения наблюдается при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную. Предельный угол полного отражения – это угол падения, при котором угол преломления составляет $90°$.

1. Запишем условие для предельного угла $\alpha$ при переходе света из вещества (с показателем преломления $n_{вещ}$) в воздух. Согласно закону Снеллиуса:

$n_{вещ} \sin \alpha = n_{воздуха} \sin 90°$

Учитывая, что $n_{воздуха} \approx 1$ и $\sin 90° = 1$, выразим показатель преломления вещества:

$n_{вещ} = \frac{1}{\sin \alpha}$

2. Теперь запишем условие для предельного угла $\beta$ при переходе света из этого же вещества в воду:

$n_{вещ} \sin \beta = n_в \sin 90°$

Отсюда выразим синус предельного угла $\beta$:

$\sin \beta = \frac{n_в}{n_{вещ}}$

Для существования полного отражения необходимо, чтобы $n_{вещ} > n_в$, что мы предполагаем выполненным.

3. Подставим выражение для $n_{вещ}$ из пункта 1 в формулу из пункта 2, чтобы связать углы $\alpha$ и $\beta$:

$\sin \beta = \frac{n_в}{1/\sin \alpha} = n_в \sin \alpha$

4. Сравним углы $\alpha$ и $\beta$.

Из полученного соотношения $\sin \beta = n_в \sin \alpha$ и заданного значения $n_в = 1.333$ (что больше 1) следует, что:

$\sin \beta > \sin \alpha$

Поскольку предельные углы $\alpha$ и $\beta$ находятся в диапазоне от $0°$ до $90°$, а на этом интервале функция синус монотонно возрастает, из неравенства для синусов следует такое же неравенство для самих углов:

$\beta > \alpha$

Вывод: Предельный угол полного отражения для данного вещества на границе с водой ($\beta$) больше, чем на границе с воздухом ($\alpha$). Это происходит потому, что вода является средой более оптически плотной, чем воздух ($n_в > n_{воздуха}$), и относительный показатель преломления на границе вещество-вода меньше, чем на границе вещество-воздух.

Для численной оценки предположим, что в предыдущей задаче был рассмотрен случай для стекла, у которого предельный угол на границе с воздухом составляет, например, $\alpha = 42°$.

Тогда показатель преломления вещества:

$n_{вещ} = \frac{1}{\sin 42°} \approx \frac{1}{0.669} \approx 1.495$

А предельный угол для границы с водой будет:

$\sin \beta = \frac{n_в}{n_{вещ}} \approx \frac{1.333}{1.495} \approx 0.8916$

$\beta = \arcsin(0.8916) \approx 63.1°$

Как мы и предсказывали, $63.1° > 42°$.

Ответ: Предельный угол полного отражения $\beta$ на границе с водой больше, чем предельный угол $\alpha$ на границе с воздухом ($\beta > \alpha$), так как показатель преломления воды больше показателя преломления воздуха. Их синусы связаны соотношением $\sin \beta = n_в \sin \alpha$. Если принять, что в предыдущей задаче было $\alpha = 42°$, то $\beta \approx 63.1°$.