Номер 14, страница 37, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 45. Явление полного внутреннего отражения - номер 14, страница 37.

Условие.

14*. На боковую грань стеклянного куба, стоящего на столе, села муха. Определите показатель преломления стекла куба, при котором муха не будет видна через верхнюю грань куба. Сделайте поясняющий рисунок.

Решение.

Решение.

Дано:

$n_1 = n$ - показатель преломления стекла куба.
$n_2 = 1$ - показатель преломления воздуха.

Найти:

$n$ - показатель преломления стекла.

Решение:

Чтобы муха была не видна через верхнюю грань, лучи света, идущие от мухи к верхней грани, должны испытывать полное внутреннее отражение на границе стекло-воздух.

Явление полного внутреннего отражения возникает, когда свет переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (из стекла в воздух, $n > 1$) и угол падения $\alpha$ превышает или равен некоторому критическому (предельному) углу $\alpha_{пр}$.

Согласно закону преломления Снеллиуса, предельный угол определяется соотношением:
$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = n_{воздуха} \cdot \sin(90^\circ)$
Поскольку $n_{воздуха} \approx 1$ и $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:
$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Для того чтобы муха была не видна из любой точки над верхней гранью, необходимо, чтобы все лучи, идущие от любой точки на боковой грани (где может сидеть муха) к верхней грани, испытывали полное внутреннее отражение. Это означает, что даже для луча с наименьшим возможным углом падения $\alpha_{min}$ должно выполняться условие $\alpha_{min} \ge \alpha_{пр}$.

Рассмотрим наихудший случай, который определяет минимально возможный угол падения. Такой случай соответствует лучу, который идет от самой нижней точки боковой грани к самой дальней точке верхней грани.

Сделаем поясняющий рисунок, изобразив поперечное сечение куба в виде квадрата ABCD со стороной $a$. Пусть муха находится в нижнем углу боковой грани (точка C), а наблюдатель смотрит через противоположный угол верхней грани (точка A).

Из геометрии видно, что луч света AC падает на верхнюю грань AB под углом $\alpha$. В прямоугольном треугольнике ADC катеты AD и DC равны стороне квадрата $a$. Следовательно, треугольник ADC - равнобедренный, и угол CAD равен $45^\circ$. Поскольку нормаль к грани AB параллельна стороне AD, угол падения $\alpha$ равен углу CAD.
$\alpha = \alpha_{min} = 45^\circ$

Теперь применим условие полного внутреннего отражения для этого предельного случая:
$\alpha_{min} \ge \alpha_{пр}$
$\sin(\alpha_{min}) \ge \sin(\alpha_{пр})$
$\sin(45^\circ) \ge \frac{1}{n}$

Подставляем значение синуса:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \ge \frac{1}{n}$
Отсюда находим минимальное значение показателя преломления $n$:
$n \ge \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Таким образом, при показателе преломления $n \ge \sqrt{2}$ муха не будет видна через верхнюю грань, где бы на боковой грани она ни находилась.

Ответ: Показатель преломления стекла куба должен быть не меньше $\sqrt{2}$, то есть $n \ge \sqrt{2} \approx 1.414$.