Номер 17, страница 50, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 48. Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами - номер 17, страница 50.

Условие.

17*. Тонкая собирающая линза, помещённая между предметом и экраном, который находится от предмета на расстоянии $L = 0,75$ м, даёт на экране чёткое изображение в двух своих положениях. В одном случае получается уменьшенное изображение, а в другом – увеличенное в $k_{\perp} = 2$ раза. Определите оптическую силу этой линзы. Сделайте поясняющий рисунок.

Решение.

Решение.

Дано:

$L = 0,75$ м

$k_1 = 2$

Найти:

$D$ - ?

Решение:

Пусть $d$ - расстояние от предмета до линзы, а $f$ - расстояние от линзы до экрана (изображения). Поскольку предмет и экран неподвижны, сумма этих расстояний постоянна и равна $L$:

$d + f = L$

Формула тонкой собирающей линзы связывает эти расстояния с фокусным расстоянием $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Оптическая сила линзы $D$ связана с фокусным расстоянием соотношением $D = 1/F$.

Поперечное увеличение линзы $k$ определяется как отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета:

$k = \frac{f}{d}$

По условию задачи, существует два положения линзы, при которых на экране получается четкое изображение. Обозначим параметры для этих двух положений индексами 1 и 2.

Для первого положения:

$d_1 + f_1 = L$

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Для второго положения:

$d_2 + f_2 = L$

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}$

Из принципа обратимости световых лучей следует, что если при расстоянии от предмета $d_1$ изображение получается на расстоянии $f_1$, то при расстоянии от предмета $f_1$ изображение получится на расстоянии $d_1$. Это означает, что два положения линзы симметричны: $d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$.

Найдем увеличения для двух случаев:

$k_1 = \frac{f_1}{d_1}$

$k_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{d_1}{f_1} = \frac{1}{k_1}$

В одном случае изображение увеличенное ($k_1 = 2$), в другом — уменьшенное ($k_2 = 1/2$).

Рассмотрим случай с увеличенным изображением. У нас есть система уравнений:

$\begin{cases} d_1 + f_1 = L \\ \frac{f_1}{d_1} = k_1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $f_1 = k_1 d_1$ и подставим в первое:

$d_1 + k_1 d_1 = L \Rightarrow d_1(1 + k_1) = L \Rightarrow d_1 = \frac{L}{1 + k_1}$

Тогда расстояние до изображения будет:

$f_1 = k_1 d_1 = \frac{k_1 L}{1 + k_1}$

Теперь подставим выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу тонкой линзы, чтобы найти оптическую силу $D = 1/F$:

$D = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1+k_1}{L} + \frac{1+k_1}{k_1 L} = \frac{k_1(1+k_1) + (1+k_1)}{k_1 L} = \frac{(1+k_1)(k_1+1)}{k_1 L} = \frac{(1+k_1)^2}{k_1 L}$

Подставим числовые значения:

$D = \frac{(1+2)^2}{2 \cdot 0,75} = \frac{3^2}{1,5} = \frac{9}{1,5} = 6$ дптр.

Поясняющий рисунок:

На рисунке показаны два положения собирающей линзы между предметом (стрелка) и экраном, при которых получается четкое изображение.

1. Первое положение ($Л_1$): предмет находится на расстоянии $d_1 = L/(1+k_1) = 0.75/3 = 0.25$ м от линзы. На экране, на расстоянии $f_1 = k_1 d_1 = 2 \cdot 0.25 = 0.5$ м от линзы, формируется действительное, перевернутое и увеличенное изображение.

2. Второе положение ($Л_2$): предмет находится на расстоянии $d_2 = f_1 = 0.5$ м от линзы. На экране, на расстоянии $f_2 = d_1 = 0.25$ м от линзы, формируется действительное, перевернутое и уменьшенное изображение.

Ответ: Оптическая сила линзы равна $6$ дптр.