Номер 18, страница 50, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 48. Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами - номер 18, страница 50.

Условие.

18*. С помощью тонкой собирающей линзы на экране первый раз получают увеличенное изображение некоторого предмета. Второй раз, изменив положения предмета и экрана относительно линзы, получают уменьшенное изображение этого же предмета. Опыт повторяют, используя более короткофокусную линзу. В каком случае приходится перемещать экран на большее расстояние? Ответ обоснуйте.

Решение.

Дано:

$F_1$ - фокусное расстояние первой (более длиннофокусной) линзы.
$F_2$ - фокусное расстояние второй (более короткофокусной) линзы.
$F_2 < F_1$.
Для каждой линзы получают два действительных изображения: сначала увеличенное, затем уменьшенное.

Найти:

В каком случае перемещение экрана $\Delta s$ между двумя положениями, соответствующими четкому изображению, будет больше?

Решение:

Запишем формулу тонкой собирающей линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$
где $d$ – расстояние от предмета до линзы, $f$ – расстояние от линзы до изображения (экрана), а $F$ – фокусное расстояние линзы.

Получение сначала увеличенного, а затем уменьшенного изображения возможно, если расстояние $L$ между предметом и экраном постоянно и превышает четыре фокусных расстояния ($L > 4F$). В этом случае существуют два положения линзы между предметом и экраном, при которых получается четкое изображение. Расстояние $L$ связано с $d$ и $f$ соотношением $L = d + f$.

Подставим $f = L - d$ в формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{L-d} = \frac{1}{F}$
После преобразований получим квадратное уравнение относительно $d$:
$\frac{L-d+d}{d(L-d)} = \frac{1}{F} \implies LF = Ld - d^2 \implies d^2 - Ld + LF = 0$

Решениями этого уравнения являются два возможных расстояния от предмета до линзы:
$d_A = \frac{L - \sqrt{L^2 - 4LF}}{2}$ и $d_B = \frac{L + \sqrt{L^2 - 4LF}}{2}$

Соответствующие им расстояния от линзы до экрана (положения экрана):
$f_A = L - d_A = \frac{L + \sqrt{L^2 - 4LF}}{2}$
$f_B = L - d_B = \frac{L - \sqrt{L^2 - 4LF}}{2}$

В первом случае ($d_A, f_A$) изображение будет увеличенным (так как $f_A > d_A$), а во втором ($d_B, f_B$) — уменьшенным (так как $f_B < d_B$).Расстояние, на которое необходимо переместить экран для перехода от одного четкого изображения к другому, равно разности $f_A$ и $f_B$:
$\Delta s = |f_A - f_B| = |\frac{L + \sqrt{L^2 - 4LF}}{2} - \frac{L - \sqrt{L^2 - 4LF}}{2}| = \sqrt{L^2 - 4LF}$

Теперь сравним величины перемещения экрана для двух линз, $\Delta s_1$ и $\Delta s_2$, предполагая, что расстояние $L$ в обоих экспериментах одинаково.
Для первой линзы с фокусным расстоянием $F_1$: $\Delta s_1 = \sqrt{L^2 - 4LF_1}$
Для второй линзы с фокусным расстоянием $F_2$: $\Delta s_2 = \sqrt{L^2 - 4LF_2}$

Из условия известно, что $F_2 < F_1$. Умножим это неравенство на отрицательное число $-4L$:
$-4LF_2 > -4LF_1$
Прибавим к обеим частям $L^2$:
$L^2 - 4LF_2 > L^2 - 4LF_1$
Поскольку подкоренные выражения положительны, можно извлечь корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:
$\sqrt{L^2 - 4LF_2} > \sqrt{L^2 - 4LF_1}$
Следовательно, $\Delta s_2 > \Delta s_1$.

Ответ: Экран приходится перемещать на большее расстояние в случае использования более короткофокусной линзы. Это следует из зависимости перемещения экрана $\Delta s$ от фокусного расстояния $F$ ($\Delta s = \sqrt{L^2 - 4LF}$): чем меньше $F$, тем больше значение подкоренного выражения и, соответственно, больше само перемещение $\Delta s$.