Номер 6, страница 52, часть 3 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 3. Глава 8. Оптика. Параграф 49. Построение изображений, создаваемых тонкими рассеивающими линзами - номер 6, страница 52.

Условие.

6. Точечный источник света находится на расстоянии $\text{a}$ от главной плоскости тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $\text{F}$ и оптической силой $\text{D}$. Заполните таблицу, определив неизвестные величины. Здесь $\text{b}$ — расстояние от главной плоскости линзы до изображения источника.

№ линзы	$\text{F}$, см	$\text{D}$, дптр	$\text{a}$, см	$\text{b}$, см	$(a+b)$, см
1		$-25$	4
2	$-60$		30
3	$-20$			$-40/3$
4	$-6$			$-2$
5*		$-50$			$-0,5$
6*	$-3$				4

Решение.

Для решения задачи используются формула тонкой линзы и формула для оптической силы. Поскольку линза рассеивающая, ее фокусное расстояние $F$ и оптическая сила $D$ являются отрицательными величинами. Источник света считается действительным, поэтому расстояние до него $a$ всегда положительно. Для рассеивающей линзы изображение действительного источника всегда мнимое, поэтому расстояние до изображения $b$ будет отрицательным.

Основная формула тонкой линзы: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$

Связь оптической силы $D$ (в диоптриях, дптр) и фокусного расстояния $F$ (в метрах, м): $D = \frac{1}{F}$

1. Линза № 1

Дано:

$D = -25$ дптр

$a = 4$ см

$a = 0.04$ м

Найти:

$F, b, (a+b)$

Решение:

Найдем фокусное расстояние $F$, используя значение оптической силы $D$. Фокусное расстояние должно быть выражено в метрах.

$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{-25} = -0.04$ м.

Переведем $F$ в сантиметры: $F = -4$ см.

Теперь воспользуемся формулой тонкой линзы для нахождения $b$. Расчеты будем вести в сантиметрах.

$\frac{1}{b} = \frac{1}{F} - \frac{1}{a} = \frac{1}{-4} - \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ см$^{-1}$.

Отсюда $b = -2$ см.

Вычислим сумму $(a+b)$:

$(a+b) = 4 \text{ см} + (-2 \text{ см}) = 2$ см.

Ответ: $F = -4$ см; $b = -2$ см; $(a+b) = 2$ см.

2. Линза № 2

Дано:

$F = -60$ см

$a = 30$ см

$F = -0.6$ м

$a = 0.3$ м

Найти:

$D, b, (a+b)$

Решение:

Найдем оптическую силу $D$. Для этого фокусное расстояние $F$ нужно перевести в метры: $F = -60$ см $= -0.6$ м.

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{-0.6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$ дптр $\approx -1.67$ дптр.

Найдем расстояние до изображения $b$ по формуле тонкой линзы (в см):

$\frac{1}{b} = \frac{1}{F} - \frac{1}{a} = \frac{1}{-60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} - \frac{2}{60} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$ см$^{-1}$.

Отсюда $b = -20$ см.

Вычислим сумму $(a+b)$:

$(a+b) = 30 \text{ см} + (-20 \text{ см}) = 10$ см.

Ответ: $D = -5/3$ дптр; $b = -20$ см; $(a+b) = 10$ см.

3. Линза № 3

Дано:

$F = -20$ см

$b = -40/3$ см

$F = -0.2$ м

$b \approx -0.133$ м

Найти:

$D, a, (a+b)$

Решение:

Найдем оптическую силу $D$, переведя $F$ в метры: $F = -20$ см $= -0.2$ м.

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{-0.2} = -5$ дптр.

Найдем расстояние до источника $a$ по формуле тонкой линзы (в см):

$\frac{1}{a} = \frac{1}{F} - \frac{1}{b} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-40/3} = -\frac{1}{20} + \frac{3}{40} = -\frac{2}{40} + \frac{3}{40} = \frac{1}{40}$ см$^{-1}$.

Отсюда $a = 40$ см.

Вычислим сумму $(a+b)$:

$(a+b) = 40 \text{ см} + (-\frac{40}{3} \text{ см}) = \frac{120-40}{3} = \frac{80}{3}$ см.

Ответ: $D = -5$ дптр; $a = 40$ см; $(a+b) = 80/3$ см.

4. Линза № 4

Дано:

$F = -6$ см

$b = -2$ см

$F = -0.06$ м

$b = -0.02$ м

Найти:

$D, a, (a+b)$

Решение:

Найдем оптическую силу $D$, переведя $F$ в метры: $F = -6$ см $= -0.06$ м.

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{-0.06} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3}$ дптр $\approx -16.67$ дптр.

Найдем расстояние до источника $a$ по формуле тонкой линзы (в см):

$\frac{1}{a} = \frac{1}{F} - \frac{1}{b} = \frac{1}{-6} - \frac{1}{-2} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ см$^{-1}$.

Отсюда $a = 3$ см.

Вычислим сумму $(a+b)$:

$(a+b) = 3 \text{ см} + (-2 \text{ см}) = 1$ см.

Ответ: $D = -50/3$ дптр; $a = 3$ см; $(a+b) = 1$ см.

5. Линза № 5*

Дано:

$D = -50$ дптр

$(a+b) = -0.5$ см

$(a+b) = -0.005$ м

Найти:

$F, a, b$

Решение:

Найдем фокусное расстояние $F$:

$F = \frac{1}{D} = \frac{1}{-50} = -0.02$ м $= -2$ см.

Для рассеивающей линзы и действительного источника ($a > 0$) изображение всегда мнимое ($b < 0$), причем по модулю расстояние до изображения меньше расстояния до источника ($|b| < a$).

Из условия $(a+b) = -0.5$ выразим $a$: $a = -0.5 - b$.

Проверим условие $a > 0$: $-0.5 - b > 0$, что означает $b < -0.5$ см.

Проверим условие $|b| < a$. Поскольку $b < 0$, то $|b| = -b$. Подставим в неравенство:

$-b < -0.5 - b \Rightarrow 0 < -0.5$.

Полученное неравенство ложно. Это означает, что исходные данные противоречат законам оптики и задача с такими данными не имеет физического решения. Вероятно, в условии допущена опечатка.

Предположим, что в условии имелось в виду $(a+b) = 0.5$ см. Решим задачу для этого случая.

Имеем систему уравнений:

1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{-2}$

2) $a+b = 0.5 \Rightarrow a = 0.5 - b$

Подставим (2) в (1): $\frac{1}{0.5-b} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{2}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{b + 0.5 - b}{b(0.5-b)} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{0.5}{0.5b - b^2} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда $1 = -(0.5b - b^2)$, что приводит к квадратному уравнению $b^2 - 0.5b - 1 = 0$.

Дискриминант $D_q = (-0.5)^2 - 4(1)(-1) = 0.25 + 4 = 4.25$.

Корни $b = \frac{0.5 \pm \sqrt{4.25}}{2}$. Так как $b<0$, выбираем корень со знаком минус:

$b = \frac{0.5 - \sqrt{4.25}}{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ см.

Тогда $a = 0.5 - b = \frac{1}{2} - \frac{1 - \sqrt{17}}{4} = \frac{2 - 1 + \sqrt{17}}{4} = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ см.

Ответ: Исходные данные противоречивы. При предположении, что $(a+b) = 0.5$ см, ответ: $F = -2$ см; $a = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}$ см; $b = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$ см.

6. Линза № 6*

Дано:

$F = -3$ см

$(a+b) = 4$ см

$F = -0.03$ м

$(a+b) = 0.04$ м

Найти:

$D, a, b$

Решение:

Найдем оптическую силу $D$, переведя $F$ в метры: $F = -3$ см $= -0.03$ м.

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{-0.03} = -\frac{100}{3}$ дптр $\approx -33.33$ дптр.

Решим систему уравнений:

1) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{-3}$

2) $a+b = 4 \Rightarrow a = 4 - b$

Подставим (2) в (1): $\frac{1}{4-b} + \frac{1}{b} = -\frac{1}{3}$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{b + 4 - b}{b(4-b)} = -\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{4}{4b-b^2} = -\frac{1}{3}$.

Отсюда $12 = -(4b-b^2)$, что приводит к квадратному уравнению $b^2 - 4b - 12 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $b_1=6$ и $b_2=-2$.

Так как изображение мнимое, $b$ должно быть отрицательным. Следовательно, $b = -2$ см.

Найдем $a$: $a = 4 - b = 4 - (-2) = 6$ см.

Ответ: $D = -100/3$ дптр; $a = 6$ см; $b = -2$ см.