Номер 5, страница 67 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 1. Кинематика. Параграф 11. Скорость и ускорение при равномерном движении по окружности. Упражнения - номер 5, страница 67.

Условие.

5. Используя результаты, полученные в упражнении 6 § 10, определите центростремительное ускорение точек:

а) обода колеса велосипеда;

б) внешней границы ведомой звёздочки;

в) внешней границы ведущей звёздочки.

Оцените погрешности результатов.

Решение.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из предыдущего упражнения (упражнение 6 § 10, учебник физики 10 кл., Г.Я. Мякишев). Как правило, в этом упражнении приводятся следующие или подобные данные:

• Скорость велосипеда: $v = 9 \text{ км/ч}$.
• Радиус заднего колеса: $R = 40 \text{ см}$.
• Число зубьев на ведущей (большой) звёздочке: $N_1 = 48$.
• Число зубьев на ведомой (малой) звёздочке: $N_2 = 16$.

Центростремительное ускорение $a_c$ точки, движущейся по окружности радиусом $\text{r}$ с линейной скоростью $\text{v}$ или угловой скоростью $\omega$, вычисляется по формулам:

$a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

Дано:

$v = 9 \text{ км/ч}$
$R = 40 \text{ см}$
$N_1 = 48$
$N_2 = 16$
Для расчёта радиусов звёздочек примем стандартный шаг велосипедной цепи: $p = 0.5 \text{ дюйма} = 12.7 \text{ мм}$.

Перевод в систему СИ:
$v = 9 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 9 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2.5 \text{ м/с}$
$R = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$
$p = 12.7 \text{ мм} = 0.0127 \text{ м}$

Найти:

а) $a_{c, \text{колеса}}$ - центростремительное ускорение точек обода колеса.
б) $a_{c, \text{ведомой}}$ - центростремительное ускорение точек внешней границы ведомой звёздочки.
в) $a_{c, \text{ведущей}}$ - центростремительное ускорение точек внешней границы ведущей звёздочки.

Решение:

Прежде всего, оценим радиусы звёздочек, используя их число зубьев и шаг цепи. Радиус окружности, по которой движутся центры роликов цепи, можно найти по приближённой формуле $r \approx \frac{p \cdot N}{2\pi}$.

Радиус ведущей звёздочки ($N_1=48$):

$r_1 = \frac{p \cdot N_1}{2\pi} = \frac{0.0127 \text{ м} \cdot 48}{2\pi} \approx 0.097 \text{ м}$

Радиус ведомой звёздочки ($N_2=16$):

$r_2 = \frac{p \cdot N_2}{2\pi} = \frac{0.0127 \text{ м} \cdot 16}{2\pi} \approx 0.032 \text{ м}$

а) обода колеса велосипеда

При движении без проскальзывания линейная скорость точек на ободе колеса относительно его оси равна скорости велосипеда.
$v_{\text{колеса}} = v = 2.5 \text{ м/с}$

Центростремительное ускорение точек обода вычисляется по формуле:

$a_{c, \text{колеса}} = \frac{v^2}{R} = \frac{(2.5 \text{ м/с})^2}{0.4 \text{ м}} = \frac{6.25}{0.4} \text{ м/с}^2 = 15.625 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{c, \text{колеса}} \approx 16 \text{ м/с}^2$.

б) внешней границы ведомой звёздочки

Ведомая звёздочка установлена на оси заднего колеса и вращается вместе с ним. Следовательно, их угловые скорости равны.

$\omega_{\text{ведомой}} = \omega_{\text{колеса}} = \frac{v}{R} = \frac{2.5 \text{ м/с}}{0.4 \text{ м}} = 6.25 \text{ рад/с}$

Центростремительное ускорение точек на внешней границе ведомой звёздочки:

$a_{c, \text{ведомой}} = \omega_{\text{ведомой}}^2 \cdot r_2 = (6.25 \text{ рад/с})^2 \cdot 0.032 \text{ м} \approx 39.06 \cdot 0.032 \text{ м/с}^2 \approx 1.25 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{c, \text{ведомой}} \approx 1.3 \text{ м/с}^2$.

в) внешней границы ведущей звёздочки

Ведущая и ведомая звёздочки соединены цепью. Линейная скорость движения цепи равна линейной скорости точек на внешних границах обеих звёздочек.

$v_{\text{цепи}} = \omega_{\text{ведомой}} \cdot r_2 = 6.25 \text{ рад/с} \cdot 0.032 \text{ м} = 0.2 \text{ м/с}$

Теперь можно найти центростремительное ускорение для точек на границе ведущей звёздочки:

$a_{c, \text{ведущей}} = \frac{v_{\text{цепи}}^2}{r_1} = \frac{(0.2 \text{ м/с})^2}{0.097 \text{ м}} = \frac{0.04}{0.097} \text{ м/с}^2 \approx 0.412 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_{c, \text{ведущей}} \approx 0.41 \text{ м/с}^2$.

Оцените погрешности результатов

Погрешности полученных результатов обусловлены погрешностями исходных данных. Число зубьев $N_1$ и $N_2$ являются точными величинами. Основные источники погрешностей — это измерения скорости велосипеда $\text{v}$ и радиусов $\text{R}$, $r_1$ и $r_2$.

Формулы для ускорений в зависимости от исходных измеряемых величин:

• $a_{c, \text{колеса}} = \frac{v^2}{R}$
• $a_{c, \text{ведомой}} = \frac{v^2 r_2}{R^2}$
• $a_{c, \text{ведущей}} = \frac{v^2 r_2^2}{R^2 r_1}$

Из этих формул следует, что наибольший вклад в общую погрешность вносит погрешность измерения скорости $\text{v}$, так как она входит в каждую формулу в квадрате. Относительная погрешность ускорения, связанная со скоростью, в два раза превышает относительную погрешность самой скорости ($\frac{\Delta a}{a} \propto 2 \frac{\Delta v}{v}$). Погрешности измерения радиусов также вносят свой вклад. Кроме того, расчёт радиусов звёздочек по числу зубьев является приближённым и вносит дополнительную систематическую погрешность в результат.