Номер 5, страница 151 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач. Упражнения - номер 5, страница 151.

Условие.

*5. На поверхности озера на некотором расстоянии друг от друга лежат два одинаковых надувных матраса. На этих матрасах сидят два брата, взявшись за концы слегка натянутой тонкой верёвки (рис. 97). В некоторый момент старший брат начинает тянуть верёвку, перебирая её руками. С какой скоростью будет двигаться матрас с младшим братом в тот момент, когда скорость матраса со старшим братом станет равной $v_1 = 2 \text{ км/ч}$? Массы старшего и младшего братьев равны $M_1 = 48 \text{ кг}$ и $M_2 = 23 \text{ кг}$, а масса каждого из матрасов равна $m = 2 \text{ кг}$. Сопротивлением воды движению матрасов можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Масса старшего брата $M_1 = 48$ кг

Масса младшего брата $M_2 = 23$ кг

Масса каждого из матрасов $m = 2$ кг

Скорость матраса со старшим братом $v_1 = 2$ км/ч

Перевод скорости в систему СИ:
$v_1 = 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 2 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Скорость матраса с младшим братом $v_2$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух братьев и двух матрасов. Силы, с которыми братья тянут веревку, являются внутренними силами этой системы. Внешними силами, действующими на систему в горизонтальном направлении (сопротивление воды), по условию задачи можно пренебречь. Это означает, что система в горизонтальном направлении является замкнутой, и для нее выполняется закон сохранения импульса.

В начальный момент времени братья с матрасами покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю:

$\vec{p}_{\text{нач}} = 0$

Пусть в некоторый момент времени матрас со старшим братом имеет скорость $\vec{v_1}$, а матрас с младшим братом — скорость $\vec{v_2}$. Суммарная масса старшего брата с матрасом равна $m_1 = M_1 + m$, а младшего брата с матрасом — $m_2 = M_2 + m$.

Импульс системы в этот момент времени равен:

$\vec{p}_{\text{кон}} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_{\text{кон}}$:

$0 = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$

Это векторное равенство. Для решения задачи введем ось $Ox$, направленную в сторону движения старшего брата. Тогда матрас с младшим братом будет двигаться в противоположном направлении. Спроецируем уравнение на ось $Ox$:

$0 = m_1 v_1 + m_2 (-v_2)$

Здесь $v_1$ и $v_2$ — это модули скоростей.

Из этого уравнения получаем:

$m_2 v_2 = m_1 v_1$

Выразим искомую скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1 = \frac{M_1 + m}{M_2 + m} v_1$

Подставим числовые значения:

$m_1 = 48 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 50 \text{ кг}$

$m_2 = 23 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 25 \text{ кг}$

Расчет удобно провести, оставив скорость $v_1$ в км/ч. Тогда результат для $v_2$ также будет в км/ч.

$v_2 = \frac{50 \text{ кг}}{25 \text{ кг}} \cdot 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 2 \cdot 2 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 4 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: скорость матраса с младшим братом будет равна 4 км/ч.