Номер 6, страница 151 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 3. Импульс. Закон сохранения импульса. Параграф 24. Применение закона сохранения импульса при решении задач. Упражнения - номер 6, страница 151.

Условие.

6. Ядро массой 10 кг летит вниз под углом 30° к вертикали. Оно попадает в стоящую на гладкой горизонтальной площадке платформу с песком и застревает в песке. Модуль скорости ядра в момент падения равен 400 м/с. Масса платформы равна 1 т. Определите модуль скорости платформы с застрявшим в песке ядром.

Решение.

Дано:

$m_1 = 10 \text{ кг}$

$m_2 = 1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$

$v_1 = 400 \text{ м/с}$

$\alpha = 30^\circ$ (угол к вертикали)

Найти:

$\text{u}$ — модуль скорости платформы с ядром.

Решение:

Это задача на закон сохранения импульса. Так как столкновение (попадание ядра в платформу) происходит очень быстро, мы можем рассматривать систему "ядро-платформа" как замкнутую в горизонтальном направлении. Внешние силы (сила тяжести и сила нормальной реакции опоры) действуют только в вертикальном направлении. Сила трения отсутствует, так как платформа находится на гладкой горизонтальной площадке. Следовательно, проекция суммарного импульса системы на горизонтальную ось сохраняется.

Направим ось $OX$ горизонтально. До столкновения платформа покоилась, поэтому ее импульс был равен нулю. Импульс ядра до столкновения был направлен под углом $\alpha = 30^\circ$ к вертикали.

Проекция начального импульса системы на ось $OX$ равна проекции импульса ядра:

$p_{x \text{ до}} = m_1 v_{1x}$

где $v_{1x}$ — горизонтальная составляющая скорости ядра. Угол $\alpha$ дан к вертикали, поэтому угол к горизонтали будет $90^\circ - \alpha$. Однако, удобнее выразить горизонтальную проекцию через синус данного угла:

$v_{1x} = v_1 \sin \alpha$

Таким образом, начальный импульс системы в проекции на ось $OX$:

$p_{x \text{ до}} = m_1 v_1 \sin \alpha$

После того как ядро застряло в песке, платформа и ядро стали двигаться вместе как единое целое. Их общая масса стала $M = m_1 + m_2$, а скорость $\text{u}$ направлена горизонтально (так как движение возможно только вдоль горизонтальной площадки).

Конечный импульс системы в проекции на ось $OX$:

$p_{x \text{ после}} = (m_1 + m_2) u$

По закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$p_{x \text{ до}} = p_{x \text{ после}}$

$m_1 v_1 \sin \alpha = (m_1 + m_2) u$

Отсюда находим искомую скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_1 v_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{10 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м/с} \cdot \sin 30^\circ}{10 \text{ кг} + 1000 \text{ кг}} = \frac{10 \cdot 400 \cdot 0.5}{1010} = \frac{2000}{1010} \approx 1.98 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости платформы с застрявшим в песке ядром равен примерно $1.98 \text{ м/с}$.